Geometria Analítica

plano tem equa¸˜o y = 2x + 1. Determine um vetor paralelo a esta reta. ca 3. Determine a reta no plano que ´ paralela ao vetor v = (2, 3) e passa pelo ponto e P = (1, 2). 4. Sejam u e v dois vetores. Determine os vetores x e y tais que 6x − 2y = u e 3x + y = u + v. 5. Quais s˜o as coordenadas do ponto P , sim´trico do ponto P = (1, 0, 3) em rela¸ao a e c˜ ao ponto M = (1, 2, −1)? 6. Verifique se os pontos dados s˜o colineares, isto ´, pertencem a uma mesma reta: a e (a) A = (5, 1, −3), B = (0, 3, 4) e C = (0, 3, −5); (b) A = (−1, 1, 3), B = (4, 2, −3) e C = (14, 4, −15). 7. Dados os pontos A = (1, −2, −3), B = (−5, 2, −1) e C = (4, 0, −1), determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam v´rtices consecutivos de um paralelogramo. e 8. Verifique se ´ um paralelogramo o quadril´tero de v´rtices (n˜o necessariamente e a e a consecutivos): (a) A = (4, −1, 1), B = (9, −4, 2), C = (4, 3, 4) e D = (4, −21, −14); (b) A = (4, −1, 1), B = (9, −4, 2), C = (4, 3, 4) e D = (9, 0, 5). 9. Quais dos vetores u = (6, −4, −2), v = (−9, 6, 3) e w = (15, −10, 5) s˜o paralelos? a 10. Mostre que o segmento que une os pontos m´dios dos lados n˜o paralelos de um e a trap´zio ´ paralelo as bases, e sua medida ´ a m´dia aritm´tica das medidas das bases. e e ` e e e → → → 11. Dados quatro pontos A, B, C e X tais que AX= λ AB, escreva o vetor CX como → → combina¸˜o linear de CA e CB. ca 12. Utilizando vetores, mostre que o ponto m´dio do…

sua resposta. ! ! ( ) AB = CD () A = C e B = D; ! ! ( ) Se AB CD, então AC BD e os vetores AC e BD são iguais; ( ) Se ~ e ~ são LD, então ~ e ~ têm representantes colineares; a b a b ( ) Se ~ = ~ então os vetores ~ ; ~ e ~ são coplanares; a 0, a b c ! ! ! ( ) Se os pontos A; B e C não estão alinhados, então os vetores OA; OB e OC são LI; ( ) Dois segmentos orientados colineares e de mesmo comprimento são eqüipolentes; ( ) Se AB CD, então BA DC; ( ) Os segmentos orientados AA e BB são…

(a) A = P − u ⇔ u = AP ; − → (b) se A + u = B + v ⇒ u = AB + v. − − − 4. Sejam → = (1, −1, 3), → = (2, 1, 3) e → = (−1, −1, 4) vetores em R3 . u v w − − − − − − − (i) Ache as coordenadas de → + →, → − → e → + 2→ − 3→; u v u v u v w − − − − − − − (ii) Calcule a norma dos vetores → + →, → − → e → + 2→ − 3→; u v u v u v w − e − − (iii) Verifique se → ´ uma combina¸ao linear de → e →; u c˜ v w − − − − − − − − − − (iv) Localize os vetores →, →, →, → +…

Lista de AL: LI, LD, Base, Dimensão-5) Mostre que: é uma base para o espaço e determine sua dimensão. Apresente uma base para o espaço vetorial . Qual a sua dimensão? -4) Quais são as coordenadas de em relação à base ? -3) Seja P o espaço de todos os polinômios de qualquer grau com coeficientes reais. Existe uma base finita para este espaço? Encontre uma base para P e justifique porque este espaço é dito de dimensão finita. -2) Mostre que os polinômios geram o espaço dos…

AB = C D #« # « (i) Se AB = C D, então existe um único plano contendo A, B,C e D. #« # « (j) (A, B ) ∼ (C , D) ⇒ AB = C D #« v (chamado de versor de #« v ) é unitário com [2] Seja #« v um vetor não nulo. Mostre que o vetor #« v #« a mesma direção e sentido que v . 1 2 Adição de vetores e multiplicação por escalar [1] Encontre a soma dos vetores indicados na figura, nos seguintes casos: Figura 1: (a) Hexágono Regular 2 Figura 2: (b) Tetraedro…

CHICO 01) Mostre que, para qualquer escalar k e quaisquer vetores u e v, k(u - v) = ku - kv. 02) Seja V o conjunto de todas as funções de um conjunto não vazio X num corpo K. Para quaisquer funções f, g V e qualquer k K, sejam f + g e kf as funções em V definidas como segue: }, mostre que V não é (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (kf)(x) = kf(x). Demonstrar que V é um espaço vetorial sobre K. 03) Se V é o conjunto de pares ordenados de números reais V = {(a,b)/ a,b espaço vetorial sobre…

PROF. CHICO 01) Mostre que, para qualquer escalar k e quaisquer vetores u e v, k(u - v) = ku - kv. 02) Seja V o conjunto de todas as funções de um conjunto não vazio X num corpo K. Para quaisquer funções f, g V e qualquer k K, sejam f + g e kf as funções em V definidas como segue: (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (kf)(x) = kf(x). Demonstrar que V é um espaço vetorial sobre K. 03) Se V é o conjunto de pares ordenados de números reais V = {(a,b)/ a,b espaço vetorial sobre },…

conjunto não vazio V, dotado de duas operações: adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre  ( ou sobre C ) se seus elementos satisfazem as seguintes propriedades: Adição + : V x V  V (u,v) I u + v A1) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w) , u , v, w V A2) Comutativa: u + v = v + u, u , v V A3) Elemento neutro: 0vV tal que u + 0v = u , u V A4) Elemento oposto: u V, ( - u) V tal que u + (- u) = 0v Multiplicação por escalar:  x V  V (,u) I u M1)…

12/08/2015 EXERCÍCIOS – Lista 1 1) Seja V  3 . Mostre que W é um subespaço vetorial de V , onde: a) W  { a, b,0  | a, b  }. b) W  { a, b, c  | a  b  c  0  }. 2) Seja V  3 . Mostre que W não é um subespaço vetorial de V , onde: a) W  { a, b, c  | a  0  }. b) W  { a, b, c  | a 2  b2  c 2  1}. 3) Seja V  M 22  a a) U  { b a b) U  { c  , Mostre que U é um subespaço vetorial de V , onde: b  | a, b, c  }. c b  | a  d ; a, b, c, d  }. d 4) Seja…

corpos numéricos) Vetorial: 1.1 (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais) Corpos Numéricos Por corpo numérico, ou simplesmente corpo, entendemos um conjunto F de números (reais ou complexos), o qual goza das seguintes propriedades: 1. os números 0 e 1 estão F; 2. se x; y 2 F, então x + y e x y pertencem a F; 3. se x 2 F, o simétrico x também pertence a F; 4. se x 2 F e x 6= 0, então o inverso x 1 também está em F. É claro que o conjunto R dos…