Álgebra Linear

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR - PROF. CHICO
01) Mostre que, para qualquer escalar k e quaisquer vetores u e v, k(u - v) = ku - kv.
02) Seja V o conjunto de todas as funções de um conjunto não vazio X num corpo K. Para quaisquer funções f, g

V e qualquer k

K, sejam f + g e kf as funções em V definidas como segue:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (kf)(x) = kf(x). Demonstrar que V é um espaço vetorial sobre K.
03) Se V é o conjunto de pares ordenados de números reais V = {(a,b)/ a,b espaço vetorial sobre

}, mostre que V não é

em relação a cada uma das seguintes operações de adição e

multiplicação por escalar em V:
(i) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (ka, b)
(ii) (a, b) + (c, d) = (a, b)

e k(a, b) = (ka, kb)

(iii) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (k2a, k2b)
04) Seja V =

. Mostre que W é subespaço de V, onde :

(i) W = {(a,b,0)/a,b

}.

(ii) W = {(a,b,c)/ a+b+c=0}.
05) Escreva o vetor u=(1, -2, 5) como combinação linear de v1=(1, 1, 1);v2=(1, 2, 3 );v3=(2, -1,1 ).
Resp.: u = -6v1 + 3v2 + 2v3
06) Seja V espaço vetorial das funções f:

.

(a) Consideremos f(t) = e2t, g(t) = t3 e h(t) = t. Os vetores {f, g, h} são LI ou LD?
(b) {et, e2t } são LI ou LD?

Resp: a) LI b) LI

07) Sejam u, v e w vetores LI. Mostre que u + v, u - v e u - 2v + w são LI.
08) Sejam u, v e w vetores LI. Mostre que u, u + v e u + v + w são LI.
09) Prove que: u + v e u - v são LI
10) No

u e v são LI .

, os vetores (1,1,0); (2,1,1) e (4,3,1) são LD ou LI?

Resp: LD

11) Considere os vetores i e i - 1
(a) Mostre que i e i -1 são LD, considerando

como espaço vetorial complexo e K=

(b) Mostre que i e i -1 são LI , considerando

como espaço vetorial complexo e K=

12) Seja V espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre

. Os vetores:

u = t3 - 3t2 + 5t + 1 ; v = 2t3 - 4t2 + 9t + 5 e w = t3 - t2 + 8t + 2, são LI ou LD?
13) Sejam e1, e2, .... , en vetores LI. Suponha que u é