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Cálculo Diferencial e Geometria Analítica
Primeira Lista Unificada - 2014.2
Bacharelado em Ciência e Tecnologia

1 Conceitos vetoriais básicos
[1] Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta.

#«

(a) (A, B ) ∈ AB

#«

# «

(b) (A, B ) ∼ (C , D) ⇔ AB = C D

#« # «

(c) AB //C D ⇒ AB //C D

#«

# «

#«

# «

#«

# «

(d) AB = C D ⇒ A = C e B = D
(e) AB = C D ⇒ (A,C ) ∼ (B, D)
(f) AB = C D ⇒ AC ∩ B D = ø
(g)

#«

# «

#«

# «

AB = C D ⇒ AB = C D

#«

# «

#«

# «

(h) AB = C D ⇒ AB = C D

#«

# «

(i) Se AB = C D, então existe um único plano contendo A, B,C e D.

#«

# «

(j) (A, B ) ∼ (C , D) ⇒ AB = C D

#« v (chamado de versor de #« v ) é unitário com
[2] Seja #« v um vetor não nulo. Mostre que o vetor #« v #« a mesma direção e sentido que v .

1

2 Adição de vetores e multiplicação por escalar
[1] Encontre a soma dos vetores indicados na figura, nos seguintes casos:

Figura 1: (a) Hexágono Regular

2

Figura 2: (b) Tetraedro

Figura 3: (c) Cubo

3

Figura 4: (d) Paralelepípedo

Figura 5: (e) Hexágono Regular

4

Figura 6: (f ) Hexágono Regular
[2] Calcule a soma dos seis vetores que têm por representantes segmentos orientados com origem em cada um dos vértices, e extremidade no centro de um mesmo hexágono regular.

#«
#«
[3] Sejam (A, B ) um representante de #« u = 0 , e (C , D) um representante de #« v = 0 . Mostre que
AB //C D se, e somente se, existe λ ∈ R tal que #« u = λ #«
v.
#« # « #« # «
# «
[4] Sendo M o ponto médio de AC , N o de B D e #« x = AB + AD + C B + C D, prove que #« x //M N .
[5] Fixados os vetores #« u e #« v , resolva os sistemas nas incógnitas #« x e #« y: (a)

#« x + 2 #« y = #« u #«
#«
3 x − y = 2 #« u + #« v (b)

#« x + #« y = #« u − 2 #« v #«
#«
#« x − y = 3u

3 Soma de ponto com vetor
#«

#«

#«

[1] Sejam A, B e C pontos quaisquer em E3 . Prove que