Geometria Analítica

TERCEIRA LISTA DE EXERC´
ICIOS - GEOMETRIA ANAL´
ITICA
Prof. Rafael F. Barostichi
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1. Determine o ponto C tal que AC= 2 AB, sendo A = (0, −2) e B = (1, 0).
2. Um reta no plano tem equa¸˜o y = 2x + 1. Determine um vetor paralelo a esta reta. ca 3. Determine a reta no plano que ´ paralela ao vetor v = (2, 3) e passa pelo ponto e P = (1, 2).
4. Sejam u e v dois vetores. Determine os vetores x e y tais que 6x − 2y = u e
3x + y = u + v.
5. Quais s˜o as coordenadas do ponto P , sim´trico do ponto P = (1, 0, 3) em rela¸ao a e c˜ ao ponto M = (1, 2, −1)?
6. Verifique se os pontos dados s˜o colineares, isto ´, pertencem a uma mesma reta: a e
(a) A = (5, 1, −3), B = (0, 3, 4) e C = (0, 3, −5);
(b) A = (−1, 1, 3), B = (4, 2, −3) e C = (14, 4, −15).
7. Dados os pontos A = (1, −2, −3), B = (−5, 2, −1) e C = (4, 0, −1), determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam v´rtices consecutivos de um paralelogramo. e 8. Verifique se ´ um paralelogramo o quadril´tero de v´rtices (n˜o necessariamente e a e a consecutivos): (a) A = (4, −1, 1), B = (9, −4, 2), C = (4, 3, 4) e D = (4, −21, −14);
(b) A = (4, −1, 1), B = (9, −4, 2), C = (4, 3, 4) e D = (9, 0, 5).
9. Quais dos vetores u = (6, −4, −2), v = (−9, 6, 3) e w = (15, −10, 5) s˜o paralelos? a 10. Mostre que o segmento que une os pontos m´dios dos lados n˜o paralelos de um e a trap´zio ´ paralelo as bases, e sua medida ´ a m´dia aritm´tica das medidas das bases. e e
`
e e e
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11. Dados quatro pontos A, B, C e X tais que AX= λ AB, escreva o vetor CX como
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combina¸˜o linear de CA e CB. ca 12. Utilizando vetores, mostre que o ponto m´dio do segmento que une os pontos e A = (x1 , y1 , z1 ) e B = (x2 , y2 , z2 ) ´ dado por e M=

x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2
,
,
2
2
2

1

.

13. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se encontram em seus respectivos pontos m´dios. e 14. Considere o triˆngulo ABC e sejam M o ponto m´dio de BC, N o ponto m´dio