Sejam U V E W Vetores Li Mostre Que U V

vazio V de elementos u, v, w, · · · , chamados de c e a . + ca vetores, munido das opera¸˜es soma + : V × V −→ V e multiplica¸˜o por escalar . : R × V −→ V, tais co que, para todos u, v, w de V e a e b reais tenha-se: A1 (u + v) + w = u + (v + w) A2 u+v=v+u A3 Existe um elemento 0, chamado vetor nulo, em V tal que u + 0 = 0 + u = u A4 Existe um elemento −u em V tal que u + (−u) = (−u) + u = 0 M1 a.(u + v) = a.u + a.v M2 (a + b).u = a.u + b.v M3 (ab).u = a.(bu) M4 1.u = u 3

= a f(V) f(V + U) = ( (x+w) + (y+z), (x+w) - (y+z) ) = (x + y, x - y) + (w + z, w - z)) = f(V) + f(U) Logo, é linear. F) t(V + U) = |V + U| = |V| + |U| + 2 UV que é diferente de t(V) + t(U) Logo, não é linear Seja T : V → W uma função. Mostre que:? Se T(0) diferente 0,entao T não é uma transformação linear. Poderíamos raciocinar assim. Toda TL preserva as propriedades dos EV. Mas EV possui necessariamente o "zero" e assim T linear implica T(0) = 0. Mas vamos supor u…

1.3 COMBINAÇÃO LINEAR E.14 Escreva w como combinação linear de v1, v2 e v3: a) v1 = (1, 1); v2 = (– 1, 1); v3 = (3, 0) e w = (1, – 4) b) v1 = (1, 2); v2 = (– 2, 3); v3 = (5, 4) e w = (– 4, 1) c) v1 = (2, 1, –5); v2 = (– 1, 3, 0); v3 = (2, – 6, 4) e w = (9, – 6, –13) E.15 Escreva cada um dos vetores abaixo como combinação linear de a) A = | b) B = | E.16 Seja o subespaço W de M32 gerado por O vetor pertence a W ? E.17 Mostre que os polinômios 1 – t3, (1 – t)2, 1 – t, e 1…

sequência (u, v, w) é LD. Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações (justifique sua resposta): (a) Necessariamente, um dos vetores é nulo. (b) Se u = 0, então u é paralelo a v. (c) Se u, v, w não são nulos, então dois deles são paralelos. Exercício 2. Prove que: (a) (u, v) é LD ⇒ (u, v, w) é LD. (b) (u, v, w) é LI ⇒ (u, v) é LI. (c) (u, v) é LD ⇔ (u + v, u − v) é LD. Exercício 3. Prove que: (a) (u, v) é LI ⇔ (u + v, u − v) é LI. (b) (u, v, w) é LI ⇔ (u + v, u + w, v…

Profª. Luiza Lima 01. Considere os vetores u = (8, 6) e v = (4, −1), em . a) Determine o comprimento de cada vetor. b) Seja w = u + v. Determine o comprimento de w. c) Trace um gráfico ilustrando como w pode ser construído geometricamente usando u e v. 02. Repita o exercício 1 para os vetores u = (2, 1) e v = (6, 3). 03. Sejam x, y e z vetores em um espaço vetorial V. Demonstre que se x + y = x + z, então y = z. 04. Seja V um espaço vetorial e seja v V. Mostre que: a) a.0 = 0 para…

conjunto com n vetores. Dizemos que um vetor u é combinação linear desses n vetores, se existirem escalares a1 , a2 ,..., an ∈ ℜ tais que n u = a1v1 + a2 v 2 + ... + anv n , ou seja, u = ∑ aivi . i =1 Exemplo (1): Considere os vetores u = (−4,10,5) , v1 = (1,1,−2) , v2 = (2,0,3) e v 3 = (−1,2,3) . a) Escrever, se possível, o vetor u como combinação linear dos vetores v1 , v 2 e v 3 . b) Escrever, se possível, o vetor u como combinação linear dos vetores v 2 e…

1/26 10. Mostre que R2 é espaço vetorial com as operações usuais de soma e produto por escalar em R2 . Solução: O conjunto V = R2 = {(x, y); x, y ∈ R} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim denido: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) a · (x, y) = (ax, ay) Para vericar os oitos axiomas de espaço vetorial, sejam u = (x1 , y1 ), v = (x2 , y2 ) e w = (x3 , y3 ) (A1 ) (u + v) + w = u + (v + w); (A2 ) u + v = v + u;…

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE ´ Lista de Exerc´ ıcios Algebra Linear 1 PROF. GERSON CRUZ ARAUJO Lista 3 ˜ QUESTOES 1. Seja V = C0 (R) o espa¸o das fun¸˜es cont´ c co ınuas f : R −→ R. Defina o operador linear T : V −→ V pondo, para cada f ∈ V, T (f ) = ϕ, onde x ϕ(x) = 0 f (t)dt, x ∈ R. Determine o n´cleo e a imagem do operador T. u 2. Verifique se as transforma¸oes abaixo s˜o lineares: c˜ a (a) T : R3 → R; T (x, y, z) = x + 5y − z (b) T : R3 → R; T (x, y, z) = x2 +…

4 A 17 2 3 12 2- Sejam U e W os subespaços de R3 de…nidos por U = f(a; b; c) ; a = b = c; a; b; c 2 Rg e W = f(0; b; c) ; b; c 2 Rg : Mostre que R3 = U W: 3- Seja V o espaço vetorial das matrizes 2x2 sobre R. Determine se as matrizes A; B; C 2 V são LD ou LI onde : i) A = ii) A = 1 1 1 1 1 3 ; B= 2 1 ; B= 1 0 0 1 3 2 ; 1 2 C= ; 1 0 C= 4- Seja V o espaço vetorial dos polinômios de grau u; v e w 2 V são LD ou LI, onde: i) u = t3 3t2 + 5t + 1; v = t3 ii) u = t3 + 4t2 1 0 1…

os conjuntos de vetores são LD ou Li. a) V = {v1, v2, v3}, com v1=2i-j+3k, v2=-i-2k e v3=2i-3j+k. b) A = {a1, a2, a3}, com a1 = (2, 2, 3, 4), a2 = (0, 5, -3, 1) e a3 = (0, 0, 4, -2). c) {(2, -1), (1,3)} ⊂R2. d) {(-1, -2, 0, 3), (2, -1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)} ⊂R4. e) {(1 + 2x - x2, 2 - x + 3x2, 3 - 4x + 7x2)} ⊂P2 f) E = {u, v, w}, com u=i+2j+3k, v=i+3j+2k e w=-i+2j+3k. g) E = {u, v, w}, com u=i+2j+3k, v=i+3j+2k e x=i+4j+k. h) V =…