LISTA INDUcao

DE ESTUDOS 01 - INDUÇÃO 1. Demonstre, por indução que : a. 2+6+10+...+(4n-2) = 2n2 5n (n + 1) b. 5+10+15+....+5n= 2 2. Prove, por indução que: 20 + 21 + · · · + 2n = 2n+1 − 1, para todo inteiro natural 3. Encontre uma fórmula para a soma dos n primeira números pares e prove sua 4. A sequência u1, u2, u3, ... é definida como: u1 = 1 , prove por indução que esta definição é igual a un = (2n-1)2  un = un−1 + 8 * (n − 1) 3. Descubra e prove por indução a fórmula para a soma dos primeiros números ímpares inteiros positivos 4. Descubra e prove por indução a fórmula para a soma dos primeiros números pares inteiros positivos n 1 5. Prove por indução que : ∑ [a + (i − 1)d] = a * n + n(n − 1)dn ∈ ℵ* 2 i =1 n  1  n +1 6. Prove por indução que: ∏ 1 − 2  = n ∈ℵ e n ≥ 2 2n i  i = 2 n 7. Prove por indução que: ∏ i = n! n ∈ ℵ* i =1 n 1 n = n ∈ ℵ* i i + 1 n + 1 ( ) ( ) i =1 8. Prove por indução que: ∑ 9. Prove por indução que: 1 1 1 1 n + + +...+ = 1 * 4 4 * 7 7 * 10 (3n − 2)(3n + 1) (3n + 1) n ∈ℵ* 10.Demonstre, por indução que 2n ≥ n+1, ∀ n ∈ N* 11.Prove por indução que: a. n 2 〉 5n + 10, para n 〉 6 b. 1+2+...+n < n2 para n>1 c. 2n < n! para n ≥ 4 d. n2 > n+1 para n ≥ 2 11. Para os próximos exercícios, prove que as sentenças são verdadeiras para todo inteiro positivo a. 32n + 7 é divisível por 8 b. 7n - 2n é divisível por 5 c. 13n-6n é divisível por 7 12. Prove, por indução, que para qualquer inteiro positivo n, o número 22n - 1 é divisível por 3 1…

Trabalho de MCC 1 Conjuntos 1. Defina, de exemplos e explique de forma clara e objetiva cada um dos conceitos abaixo: (a) Definição: Conjunto, conjunto finito e conjunto infinito. -Definição: Conjunto: uma coleção de objetos, utilizando, letra minúscula, para representar o conjunto e letra(s) maiúscula(s) para representar seu(s) objeto(s), estando os elementos entre chaves. A ordem dos elementos não é considerada. O símbolo  designa a pertinência em um conjunto. Assim, a  A…

Nível 2 1 Prof. Rodrigo Pinheiro Introdu¸˜o ca Nesta aula, aprenderemos conceitos iniciais de geometria e alguns teoremas b´sicos que a ´ utilizaremos em todas as aulas seguintes. E importante o aluno perceber que os exerc´ ıcios ol´ ımpicos de geometria exigem muita criatividade, mas sem o conhecimento do colegial, n˜o h´ criatividade que resolva. Vamos assumir alguns conhecimentos b´sicos, que podem a a a ser encontrados em livros de geometria do colegial. Alguns…

inteiro n. Para estas situa¸˜es, uma nota¸˜o muito pr´tica ´ a somat´ria (tamb´m chamada co ca a e o e somat´rio ou nota¸˜o sigma), introduzida por Joseph Fourier em 1820. Nesta nota¸˜o, a o ca ca soma acima ´ escrita e n 2k k=1 Em geral, a nota¸˜o sigma tem a forma ca n f (k) k=m onde k ´ uma vari´vel arbitr´ria (o ´ e a a ındice ou a vari´vel indexadora), f (k) ´ uma f´rmula a e o qualquer que depende de k, e m, n s˜o inteiros que n˜o dependem de k.…

curso. 1) Mostre que as seguintes equa¸oes tˆm pelo menos uma solu¸˜o nos intervalos dados1 : c˜ e ca a) xcos x − 2x2 + 3x − 1 = 0, [0.2, 0.3] e [1.2, 1.3]; b)(x − 2)2 − ln x = 0, [1, 2] e [e, 4]; c)2xcos 2x − (x − 2)2 = 0, [2, 3] e [3, 4]; d)x − (ln x)x = 0, [4, 5]. 2)Tamb´m utilizando os conhecimentos da terceira aula do curso, determine um intervalo e que contenham solu¸oes das seguintes equa¸oes. c˜ c˜ a)x − 3−x = 0; b)4x2 − ex = 0; c)x3 − 2x2 − 4x + 2 = 0; d)x3 +…

I 2o SEMESTRE DE 2003- Profa Margareth 1. Sejam A, B, C ∈ Mn×n (F ) . Mostre que: (a) (A + B)T = AT + B T ; (b) (A.B)T = B T .AT ; (c) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ; (d) (A.B)∗ = B ∗ .A∗ ; (e) tr(A + B) = tr(A)+ tr(B); tr(αA) = α tr(A), onde α ∈ F ; (f) tr(A.B) = tr(B.A); (g) (A.B).C = A.(B.C). 2. Sejam A e B matrizes de ordem n sobre o corpo F . Demostrar que se (I − AB) é inversível, então (I − BA) é inversível e (I − BA)−1 = I + B (I − AB)−1 A. Se λ ∈ F , então mostre que se (λI − AB) é…

Matem´tica a Universidade Federal do Rio de Janeiro Rio de Janeiro - Brasil C´pias s˜o autorizadas e bem vindas: divulgue nosso trabalho! Consulte o s´ o a ıtio www.labma.ufrj.br/~ mcabral/livros ou entre em contato com um dos autores em mapcabral(at)ufrj(dot)br. Copyright c 2006 de Cassio Neri Moreira Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/1998. O autor e titular dos direitos autorais desta obra, permite a reprodu¸˜o e distribui¸˜o da mesma,…

a 1999 ( com revis˜o em 2005) a 2 Pref´cio a ´ Esta apostila consta das notas de aula feitas para as disciplinas Algebra I e Estruturas Alg´bricas, e as quais que j´ lecionei v´rias vezes na UFMG. Ele tem por objetivo introduzir a estrutura alg´brica a a e dos an´is . e ´ O pr´ requisito para a leitura desse livro ´ a disciplina Fundamentos de Algebra, ou seja, uma e e introdu¸ao aos n´meros inteiros. Fazemos uma recorda¸ao dessa disciplina no Cap´ c˜ u c˜…

Marques Departamento de Matem´atica-UFMG 1999 ( com revis˜ao em 2005) 2 Pref´ acio ´ Esta apostila consta das notas de aula feitas para as disciplinas Algebra I e Estruturas Alg´ebricas, as quais que j´a lecionei v´arias vezes na UFMG. Ele tem por objetivo introduzir a estrutura alg´ebrica dos an´ eis . ´ O pr´e requisito para a leitura desse livro ´e a disciplina Fundamentos de Algebra, ou seja, uma introdu¸ca˜o aos n´ umeros inteiros. Fazemos uma recorda¸ca˜o…

Thiago Magalhães  Nível Iniciante Propriedade 1 Num triângulo retângulo ABC, a mediana BM relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa AC. Prova Seja D o ponto sobre o prolongamento da mediana BM tal que BM = MD. Os triângulos AMB e CMD são congruentes, pelo caso LAL. Daí, e ou seja, AB e CD são segmentos iguais e paralelos e portanto Assim, os triângulos ABC e DCB são congruentes, pelo caso LAL, e portanto Definição 1 Uma base média de um triângulo é um…