Lista de Cálculo Numérico

Lista 0 - C´lculo Num´rico - Engenharias a e
O objetivo desta lista ´ o de trabalhar os conceitos vistos nas aulas de ”ree vis˜o”de conceitos que nos ajudar´ a entender melhor os m´todos ao longo do a a e curso.
1) Mostre que as seguintes equa¸oes tˆm pelo menos uma solu¸˜o nos intervalos dados1 : c˜ e ca a) xcos x − 2x2 + 3x − 1 = 0, [0.2, 0.3] e [1.2, 1.3];
b)(x − 2)2 − ln x = 0, [1, 2] e [e, 4];
c)2xcos 2x − (x − 2)2 = 0, [2, 3] e [3, 4];
d)x − (ln x)x = 0, [4, 5].
2)Tamb´m utilizando os conhecimentos da terceira aula do curso, determine um intervalo e que contenham solu¸oes das seguintes equa¸oes. c˜ c˜
a)x − 3−x = 0;
b)4x2 − ex = 0;
c)x3 − 2x2 − 4x + 2 = 0;
d)x3 + 4.001x2 + 4.002x + 1.101 = 0.
3)Ainda utilizando a terceira aula do curso, mostre que f ′ (x) = 0 para pelo menos um valor de x em cada um dos intervalos dados:
a)f (x) = 1 − ex + (e − 1)sin πx , [0, 1]
2
b)f (x) = (x − 1) tan x + x sin πx [0, 1];
c)f (x) = xsin πx − (x − 2) ln x, [1, 2];
d)f (x) = (x − 2)sin xln(x + 2), [−1, 3].
4)Mostre por indu¸ao finita que: c˜ a)n3 + 2n ´ divis´ por 3 para todo n ≥ 1. e ıvel
b)Um pol´ ıgono convexo de n lados tem exatamente
1

n.(n − 3) diagonais. 2

Utilize uma calculadora cient´ ıfica para ajudar nos c´lculos. Utilize tamb´m algum(ns) do(s) teorema(s) a e apresentados na terceira aula do curso para garantir a existˆncia de raiz no intervalo dado e n
∑
c) i = n.(n + 1)/2. i=1 n
∑
d) i2 = n.(n + 1).(2n + 1)/6. i=1 e)n! ≥ 2n , para todo n ≥ 4.
f)n! ≥ 3n para todo n ≥ 7.
g)n! ≥ 4n para todo n ≥ 9.
5)Seja f : Z → Z uma fun¸˜o tal que, quaisquer que sejam a e b em Z tem-se que f (a + b) = ca f (a) + f (b).
a)Mostre f (0) = 0.
b)Mostre, por indu¸ao, que f (n) = n.f (1) para todo n ∈ N. c˜ c) Mostre que f (−n) = −f (n) para todo n ∈ Z.
6)Uma progress˜o aritm´tica com primeiro termo a1 e raz˜o r ´ uma sequˆncia de n´meros a e a e e u cujo primeiro elemento ´ a1 e tal que cada elemento, a