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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA1a LISTA DE MAT 336 - ÁLGEBRA LINEAR I
2o SEMESTRE DE 2003- Profa Margareth
1. Sejam A, B, C ∈ Mn×n (F ) . Mostre que: (a) (A + B)T = AT + B T ; (b) (A.B)T =
B T .AT ; (c) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ; (d) (A.B)∗ = B ∗ .A∗ ; (e) tr(A + B) = tr(A)+ tr(B); tr(αA) = α tr(A), onde α ∈ F ; (f) tr(A.B) = tr(B.A); (g) (A.B).C = A.(B.C).
2. Sejam A e B matrizes de ordem n sobre o corpo F . Demostrar que se (I − AB) é inversível, então (I − BA) é inversível e (I − BA)−1 = I + B (I − AB)−1 A. Se λ ∈ F , então mostre que se (λI − AB) é inversível, então (λI − BA) é inversível.
3. Seja A uma m × n matriz e B uma n × k matriz. Mostrar que as colunas de C = AB são combinações lineares das colunas de A. Se α1 , · · ·, αn são as colunas de A e γ 1 , · · ·, n P
Brj αr . γ n são as colunas de C, então γ j = r=1 4. Sejam A e B duas 2 × 2 matrizes tais que AB = I. Demonstrar que BA = I.
1 −1 1
0 1 . Determinar matrizes elementares E1 , E2 , · · ·, Ek tais que
5. Seja A = 2
3
0 1
Ek . · · · E2 .E1 .A = I.
1
2 1 0
0 3 5 . Determinar uma matriz R linha-reduzida à forma escada
6. Seja A = −1
1 −2 1 1 que seja linha-equivalente a A e uma 3 × 3 matriz inversível tal que R = P A.
7. Suponhamos que A seja uma matriz 2 × 1 e que B seja uma 1 × 2 matriz. Demonstrar que C = AB não é inversível.
8. Para cada uma das matrizes
2
5 −1
4 −1
2
6
4
1
1 −1
2
3
2
4
0
1 −2
usar operações elementares sobre linhas para descobrir se é inversível e, em caso afirmativo, determinar a inversa.
2
A tal que
9. Uma matriz quadrada
A = A é chamada matriz idempotente. Mostre que
2 −1
1
4 −3 é uma matriz idempotente. Calcule A3 , A4 , ..., An . a matriz A = −3
−5
5 −4
1
2
10. Dada uma matriz quadrada A, se existir um número inteiro p> 0, tal que Ap = 0,
1 −1
1
3 −3 , mostre que A é uma diz-se que A é uma matriz nilpotente. Se A = −3
−4
4 −4 matriz nilpotente.
·
¸ a b
11. Seja A =
. Demonstrar, usando operações elementares sobre linhas, que A é
c