Matriz

Programa Olímpico de Treinamento
Aula

Curso de Geometria - Nível 2

1

Prof. Rodrigo Pinheiro

Introdu¸˜o ca Nesta aula, aprenderemos conceitos iniciais de geometria e alguns teoremas b´sicos que a ´ utilizaremos em todas as aulas seguintes. E importante o aluno perceber que os exerc´ ıcios ol´ ımpicos de geometria exigem muita criatividade, mas sem o conhecimento do colegial, n˜o h´ criatividade que resolva. Vamos assumir alguns conhecimentos b´sicos, que podem a a a ser encontrados em livros de geometria do colegial. Alguns teoremas enunciados abaixo ser˜o demonstrados posteriormente, em aulas futuras. a Teorema 1. A soma dos ˆngulos internos de um triˆngulo ´ 180◦ . a a e Demonstra¸˜o. ca E

A D

B

C

Dado um triˆngulo ABC, tomamos a partir de A uma reta paralela a BC. Pelas a propriedades de paralelismo, temos que ∠EAB = ∠ABC e ∠DAC = ∠ACB. Como
∠EAD ´ um ˆngulo raso, temos que ∠EAD = 180◦ , podemos concluir que: e a
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180◦ .
Teorema 2. A medida de um ˆngulo externo de um triˆngulo ´ igual a soma das medidas a a e dos ˆngulos internos nˆo adjacentes a ele. a a
Demonstra¸˜o.
ca
A

B

C

D

POT 2012 - Geometria - N´ ıvel 2 - Aula 1 - Prof. Rodrigo Pinheiro

Como a soma dos ˆngulos internos ´ 180◦ , ent˜o ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180◦ . a e a Mas na reta BD, temos que ∠BCA + ∠DCA = 180◦ . Assim,
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = ∠BCA + ∠DCA,
∠ABC + ∠CAB = ∠DCA.
Teorema 3. A soma de todos os ˆngulos internos de um pol´ a ıgono convexo de n lados ´ e ◦ · (n − 2)
180
Demonstra¸˜o. A partir de um v´rtice do pol´ ca e ıgono, tra¸aremos todas as suas diagonais, c ou seja dividimos o pol´ ıgono em n − 2 triˆngulos, portanto, a soma de todos os ˆngulos a a internos do pol´ ıgono ´ igual a soma de todos os ˆngulos internos de todos os triˆngulos que e a a ´ 180◦ · (n − 2). e Teorema 4. Dois lados de um triˆngulo s˜o congruentes se, e somente se os ˆngulos opostos a a a a