LISTA INDUcao

LISTA DE ESTUDOS 01 - INDUÇÃO
1. Demonstre, por indução que :
a. 2+6+10+...+(4n-2) = 2n2
5n (n + 1)
b. 5+10+15+....+5n=
2
2. Prove, por indução que: 20 + 21 + · · · + 2n = 2n+1 − 1, para todo inteiro natural
3. Encontre uma fórmula para a soma dos n primeira números pares e prove sua
4. A sequência u1, u2, u3, ... é definida como:
u1 = 1
, prove por indução que esta definição é igual a un = (2n-1)2

un = un−1 + 8 * (n − 1)
3. Descubra e prove por indução a fórmula para a soma dos primeiros números ímpares inteiros positivos
4. Descubra e prove por indução a fórmula para a soma dos primeiros números pares inteiros positivos n 1
5. Prove por indução que : ∑ [a + (i − 1)d] = a * n + n(n − 1)dn ∈ ℵ*
2
i =1 n 
1  n +1
6. Prove por indução que: ∏ 1 − 2  = n ∈ℵ e n ≥ 2
2n
i  i = 2

n

7. Prove por indução que: ∏ i = n! n ∈ ℵ* i =1 n 1 n = n ∈ ℵ* i i
+
1 n +
1
(
)
(
)
i =1

8. Prove por indução que: ∑
9. Prove por indução que:

1
1
1
1
n
+
+
+...+
=
1 * 4 4 * 7 7 * 10
(3n − 2)(3n + 1) (3n + 1)

n ∈ℵ*

10.Demonstre, por indução que 2n ≥ n+1, ∀ n ∈ N*
11.Prove por indução que:
a.

n 2 〉 5n + 10, para n 〉 6

b. 1+2+...+n < n2 para n>1
c.

2n < n! para n ≥ 4

d. n2 > n+1 para n ≥ 2
11. Para os próximos exercícios, prove que as sentenças são verdadeiras para todo inteiro positivo a. 32n + 7 é divisível por 8
b. 7n - 2n é divisível por 5
c. 13n-6n é divisível por 7
12. Prove, por indução, que para qualquer inteiro positivo n, o número 22n - 1 é divisível por 3
1

LISTA DE ESTUDOS 01 - INDUÇÃO
13. Seja s1 = 3 e s n = s n−1 + 2 para n≥2, prove pelo princípio de indução que esta seqüência é equivalente à 2n+1 para n ≥1
14. Seja a 0 = a1 = a 2 = 1 a n = a n −1 + a n − 2 + a n − 3 n ≥ 3
a. Calcule os primeiros termos da seqüência
b. Prove que a seqüência é ímpar
15. Define-se recursivamente: a 0 = 1, a1 = 2, a 2 = 3, an = a n − 2 + 2a n − 3 n ≥ 3 n  3
Prove que a n 〉   para n≥1
 2

16. Seja : a 0 = 1, a1 = 3, a 2 = 5, a n = 3a n − 2 + 2a n − 3 n ≥ 3

.

Prove que