Apostila Aneis

Introdu¸ao a Teoria de An´is c˜ ` e Cristina Maria Marques
Departamento de Matem´tica-UFMG a 1999 ( com revis˜o em 2005) a 2

Pref´cio a ´
Esta apostila consta das notas de aula feitas para as disciplinas Algebra I e Estruturas Alg´bricas, e as quais que j´ lecionei v´rias vezes na UFMG. Ele tem por objetivo introduzir a estrutura alg´brica a a e dos an´is . e ´
O pr´ requisito para a leitura desse livro ´ a disciplina Fundamentos de Algebra, ou seja, uma e e introdu¸ao aos n´meros inteiros. Fazemos uma recorda¸ao dessa disciplina no Cap´ c˜ u c˜ ıtulo 1.
Esta apostila foi escrita com o intuito de ajudar aos alunos na leitura de outros textos de
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Algebra como por exemplo o excelente livro do Gallian [1]. V´rios an´is s˜o apresentados como os a e a an´is quocientes, an´is de polinˆmios sobre an´is comutativos e outros. No Cap´ e e o e ıtulo 7 ´ feita uma e generaliza¸ao desses an´is, definindo dom´ c˜ e ınios euclidianos, dom´ ınios de fatora¸ao unica e dom´ c˜ ´ ınios de ideais principais. Tambem apresentamos o Teorema Fundamental dos Homomorfismos que permite a comparara¸˜o de an´is. ca e
Espero alcan¸ar meu objetivo. c Cristina Maria Marques.
Belo Horizonte,9/3/99.

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Sum´rio a Pref´cio a i

1 Inteiros
1.1 Propriedades b´sicas . . . . . . . . . a 1.2 Teorema Fundamental da Aritm´tica e 1.3 Indu¸ao matem´tica . . . . . . . . . c˜ a
1.4 Rela¸ao de equivalˆncia . . . . . . . . c˜ e
1.5 Exerc´ ıcios do cap´ ıtulo 1 . . . . . . .

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2 An´is e 2.1 Defini¸oes e propriedades b´sicas c˜ a
2.2 Suban´is . . . . . . . . . . . . . . e 2.3 Dom´ ınios Integrais . . . . . . . .
2.4 Corpos . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Caracter´ ıstica de um anel . . . .
2.6 Exerc´ ıcios do Cap´ ıtulo 2 . . . . .
3 Ideais e an´is