somatoria

Cap´ ıtulo 8
Somat´rias e produt´rias o o
8.1

Introdu¸˜o ca Muitas quantidades importantes em matem´tica s˜o definidas como a soma de uma quantia a dade vari´vel de parcelas tamb´m vari´veis, por exemplo a soma 21 +22 +· · ·+2n , para algum a e a inteiro n. Para estas situa¸˜es, uma nota¸˜o muito pr´tica ´ a somat´ria (tamb´m chamada co ca a e o e somat´rio ou nota¸˜o sigma), introduzida por Joseph Fourier em 1820. Nesta nota¸˜o, a o ca ca soma acima ´ escrita e n
2k
k=1

Em geral, a nota¸˜o sigma tem a forma ca n

f (k) k=m onde k ´ uma vari´vel arbitr´ria (o ´ e a a ındice ou a vari´vel indexadora), f (k) ´ uma f´rmula a e o qualquer que depende de k, e m, n s˜o inteiros que n˜o dependem de k. Esta nota¸˜o nos a a ca diz para incluirmos na soma precisamente aqueles termos f (k) onde k ´ um inteiro maior ou e igual a m e menor ou igual a n, ou seja m ≤ k ≤ n. Esta soma tamb´m pode ser escrita e f (k) k m≤k≤n

Costuma-se simplificar esta nota¸˜o para ca f (k) m≤k≤n quando a vari´vel ´ a ındice k ´ ´bvia pelo contexto. Observe que se f (k) tem o mesmo valor eo para dois (ou mais) ´ ındices k diferentes entre m e n, esse valor deve ser somado duas (ou mais) vezes. Por exemplo, na somat´ria 4 k(5 − k), as parcelas s˜o 4, 6, 6, 4; portanto o a k=1 a soma ´ 20. e 115

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CAP´
ITULO 8. SOMATORIAS E PRODUTORIAS

116

Uma variante mais geral da nota¸˜o Σ ´ ca e f (k) k P (k)

onde k ´ a vari´vel ´ e a ındice, e P ´ algum predicado sobre inteiros. Ela representa a soma de e todos os valores f (k) tais que P (k) ´ verdadeiro. Esta forma ´ mais comum quando temos e e restri¸˜es mais complicadas sobre os ´ co ındices, como por exemplo k 2 = 12 + 32 + 52 + 72 + 92

(8.1)

1≤k≤10 k ´ ımpar 1 1 1
1
= + + p 2 5 7

(8.2)

p primo p divide 140

8.2

Somat´rias b´sicas o a

Algumas somat´rias simples tem f´rmulas expl´ o o ıcitas. Por exemplo:
n