Anel Quociente_Álgebra

Introdu¸ca˜o a` Teoria de An´eis
Cristina Maria Marques
Departamento de Matem´atica-UFMG
1999 ( com revis˜ao em 2005)

2

Pref´ acio ´
Esta apostila consta das notas de aula feitas para as disciplinas Algebra
I e Estruturas Alg´ebricas, as quais que j´a lecionei v´arias vezes na UFMG. Ele tem por objetivo introduzir a estrutura alg´ebrica dos an´ eis .
´
O pr´e requisito para a leitura desse livro ´e a disciplina Fundamentos de Algebra, ou seja, uma introdu¸ca˜o aos n´ umeros inteiros. Fazemos uma recorda¸ca˜o dessa disciplina no Cap´ıtulo 1.
Esta apostila foi escrita com o intuito de ajudar aos alunos na leitura de outros textos de
´
Algebra como por exemplo o excelente livro do Gallian [1]. V´arios an´eis s˜ao apresentados como os an´eis quocientes, an´eis de polinˆomios sobre an´eis comutativos e outros. No Cap´ıtulo 7 ´e feita uma generaliza¸ca˜o desses an´eis, definindo dom´ınios euclidianos, dom´ınios de fatora¸ca˜o u
´nica e dom´ınios de ideais principais. Tambem apresentamos o Teorema Fundamental dos Homomorfismos que permite a comparara¸c˜ao de an´eis.
Espero alcan¸car meu objetivo.
Cristina Maria Marques.
Belo Horizonte,9/3/99.

i

Sum´ ario Pref´ acio i

1 Inteiros
1.1 Propriedades b´asicas . . . . . . . . .
1.2 Teorema Fundamental da Aritm´etica
1.3 Indu¸ca˜o matem´atica . . . . . . . . .
1.4 Rela¸ca˜o de equivalˆencia . . . . . . . .
1.5 Exerc´ıcios do cap´ıtulo 1 . . . . . . .

.
.
.
.
.

1
1
5
5
6
8

.
.
.
.
.
.

10
10
13
14
15
16
17

.
.
.
.

19
19
20
22
24

.
.
.
.
.

26
26
28
29
31
32

2 An´ eis 2.1 Defini¸co˜es e propriedades b´asicas
2.2 Suban´eis . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dom´ınios Integrais . . . . . . . .
2.4 Corpos . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Caracter´ıstica de um anel . . . .
2.6 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2 . . . . .
3 Ideais e an´ eis quocientes
3.1 Ideais . . . . . . . . . . . . . .
3.2 An´eis quocientes . . . . .