Ponto Médio triangulos

PONTO MÉDIO LEMBRA? OUTRO PONTO MÉDIO! DOIS PONTOS MÉDIOS LEMBRAM? BASE MÉDIA!
Cícero Thiago Magalhães

 Nível Iniciante

Propriedade 1 Num triângulo retângulo ABC, a mediana BM relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa AC.

Prova
Seja D o ponto sobre o prolongamento da mediana BM tal que BM = MD. Os triângulos AMB e CMD são congruentes, pelo caso LAL. Daí, e ou seja, AB e CD são segmentos iguais e paralelos e portanto

Assim, os triângulos ABC e DCB são congruentes, pelo caso LAL, e portanto

Definição 1 Uma base média de um triângulo é um segmento que une os pontos médios de dois de seus lados.

Assim, todo triângulo possui exatamente três bases médias.

Propriedade 2 Sejam ABC um triângulo e M, N os pontos médios dos lados AB, AC, respectivamente. Então e

Prova
Inicialmente, prolonguemos a base média MN até um ponto P tal que MN = NP. Em seguida, construímos o triângulo CNP. Note que os triângulos ANM e CNP são congruentes, pelo caso LAL. Daí, CP = AM e e portanto

Assim, é um paralelogramo, pois CP e BM são segmentos paralelos e iguais. Mas então e

Definição 2 A base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios de seus lados não paralelos.

Propriedade 3 Sejam ABCD um trapézio de bases AB e CD, e sejam M e N os pontos médios dos lados BC e AD, respectivamente. Então,

e

Prova
Inicialmente, prolonguemos AM até encontrar DC no ponto E. É fácil ver que

Portanto, MN é base média do triângulo ADE. Assim,

Finalmente,

Problema 1 (OBM)
Considere um triângulo acutângulo ABC com Sejam os pés das alturas relativas aos lados AC, AB, respectivamente, e os pontos médios dos lados AC, AB, respectivamente. Mostre que os segmentos e são perpendiculares.

Solução
Seja O a interseção entre e O segmento é uma mediana do triângulo retângulo e portanto

e
Analogamente, Daí,

e portanto

Problema 2 Sejam ABC um triângulo e M o ponto médio do lado BC. Se D, E são os pés