Matrizes

Matriz Transposta Matriz é uma tabela de números disposta em linhas e colunas como a mostrada a seguir, que possui 3 linhas e 2 colunas. Dentre as operações que podemos realizar com matrizes, uma delas é chamada de Matriz Transposta, indicada pela letra t sobrescrita à letra que representa a matriz. Exemplos: • A transposta da matriz A é representada por At. • A transposta da matriz M é representada por Mt. Não podemos confundir a notação de matriz transposta com a notação de matriz inversa, enquanto a matriz transposta utiliza a letra t sobrescrita à matriz, a inversa sobrescreve o número -1. Representação Matriz Transposta de A Matriz Inversa de A At A-1 Determinar a transposta de uma matriz é reescrevê-la de forma que suas linhas e colunas troquem de posições ordenadamente, isto é, a primeira linha é reescrita como a primeira coluna, a segunda linha é reescrita como a segunda coluna e assim por diante, até que se termine de reescrever todas as linhas na forma de coluna. Exemplo: Determinar a matriz transposta da matriz A dada a seguir: Temos três linhas na matriz dada, a linha 1, composta pelos números 1 e 3, a linha 2, composta pelos números 2 e 5 e a linha 3 composta pelos números -4 e 0. Para escrever a transposta da matriz A reescreveremos a matriz A com as linhas 1, 2 e 3 como colunas 1, 2 e 3, obtendo então a transposta de A, isto é At. Outros exemplos de Matrizes Transpostas: Propriedades das matrizes transpostas a. A Transposta de uma

Todos os elementos de A forem iguais aos correspondentes de M. Por exemplo, dada uma matriz A2 x 2, ela será igual à matriz B se B tiver ordem 2 x 2 e se a11 = b11, a12= b12, a21 = b21 e a22 = b22. Abaixo segue o exemplo de duas matrizes iguais. Observe que elas apresentam a mesma ordem, 2 x 2, e os elementos correspondentes são iguais. Vejamos alguns exemplos de exercícios envolvendo igualdade entre matrizes. Exemplo 1. Determine o valor de x e y para que se tenha A = B,…

(horizontais) e n colunas (verticais). Uma matriz genérica do tipo nxm é representada da seguinte maneira: Essa matriz m x n possui m.n elementos. Podemos expressa-la de forma mais reduzida, por meio de uma lei de formação para seus elementos. Tipos de matrizes Matriz linha É toda matriz do tipo 1xn(n ∈ R*). Observe os exemplos: Matriz coluna É toda matriz do tipo mx1(m R*). Matriz quadrada É toda matriz cujo numero de linhas é igual ao numero de colunas. Assim,…

representar muitas coisas usando matrizes, desde uma simples tabela de notas até o mais complexo dos sistemas de computador, neste conteúdo apresentaremos exemplos de matrizes e iremos esclarecer qual o lugar dos determinantes nesse ”Universo” paralelo chamado Matriz. Definição Matriz nada mais é do que uma tabela de informações, onde seus elementos são ordenados por linhas e colunas. Podemos representar, por exemplo, as despesas de cada integrante de uma família mês a mês:…

Matriz inversa Sabemos calcular o inverso de um número real e o inverso de uma matriz segue o mesmo conceito. Quando queremos encontrar o inverso de um número real temos que nos orientar pela seguinte definição: Sendo t e g dois números reais, t será inverso de g, se somente se, t . g ou g . t for igual a 1. Quando um número real é inverso do outro, indicamos o inverso com um expoente -1: 1 / 5 = 5-1, dizemos que 1 /5 é o inverso de 5, pois se multiplicarmos 1 / 5 . 5 = 1 Dizemos…

cofator do elemento aij de uma matriz quadrada é o número: Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n ≥ 2 utilizando o Teorema de Laplace, devemos proceder da seguinte forma: 1. Escolha qualquer fila (linha ou coluna) da matriz M. 2. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator. 3. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M será a soma dos produtos dos elementos da fila pelos seus respectivos cofatores. Como já dispomos de métodos…

Matriz transposta Dada uma matriz A= ( ) m x n , onde m é o número de linhas e n o número de colunas, chama-se matriz transposta de A a matriz = () n x m , em que =, para todo i e todo j . Isso significa que as linhas de são ordenadamente iguais às colunas de A ( e vice-versa). Exemplos A matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade. Propriedades da Matriz Transposta A matriz transposta de uma matriz inversível qualquer é também inversível,…

Considerando-se uma matriz invertível, esta possui as seguintes propriedades: 1. A matriz inversa é única. Esta propriedade é decorrente de o conjunto das matrizes quadradas nxn com a operação binária de multiplicação de matrizes formar um monoide. 2. A matriz inversa de uma matriz invertível é também invertível, sendo que a inversa da inversa de uma matriz é igual à própria matriz: 3. A matriz transposta de uma matriz invertível é também invertível, e a inversa da transposta é a…

DETERMINANTES MATRIZES 1. Definição: Uma matriz é um arranjo retangular de números variáveis, cada um tendo um lugar ordenado dentro da matriz. Os números ou variáveis chamados elementos da matriz. As matrizes podem ser representadas das seguintes formas: Através de parênteses ( ). Através de colchetes [ ] . Através de barras duplas || ||. Os números em cada fila horizontal são chamados linhas; os números em cada fila vertical são chamados colunas. O número de…

Matriz identidade • É uma matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais à um e os demais elementos iguais a zero. Exemplos • É propriedade de uma matriz identidade I que se multiplicarmos ela por qualquer outra matriz A, de mesma ordem, resulte em A: • A*I = A • I*A = A Matriz transposta • para transformar uma matriz A em matriz transposta, basta trocar os elementos das linha pelos das colunas e vice-versa. exemplo • Dada a matriz A = 3 x 2, a matriz…