Algebra Linear

Matriz transposta
Dada uma matriz A= ( ) m x n , onde m é o número de linhas e n o número de colunas, chama-se matriz transposta de A a matriz = () n x m , em que =, para todo i e todo j . Isso significa que as linhas de são ordenadamente iguais às colunas de A ( e vice-versa).

Exemplos

A matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.
Propriedades da Matriz Transposta

A matriz transposta de uma matriz inversível qualquer é também inversível, sendo a inversa da transposta igual à transposta da inversa:
A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta gera soma de quadrados na diagonal.
Por exemplo:
Seja a matriz
. Então,

De forma equivalente,

Matriz dos Cofatores é obtido através da expressão a seguir:
Seja A= m x n, uma matriz quadrada , onde a, b, c, d, e, f, g, h, i ϵ R.
O cofator do elemento desta matriz A é obtido da seguinte forma:

Onde é o cofator do elemento da matriz A, enquanto que é o determinante da matriz obtida através da matriz A, eliminando sua i-ésima linha e j-ésima coluna.
Exemplo:
Seja A a matriz abaixo, determine os cofatores dos elementos a11, a22, a33 da matriz A.

O cofator do elemento a11 será determinado pela seguinte expressão:

Portanto, devemos determinar o determinante da matriz D11, matriz obtida retirando a 1ª linha e 1ª coluna da matriz A.

Com isso, podemos calcular o cofator A11.

Devemos proceder de maneira análoga com os outros cofatores, veja:

Para o cofator A33, Temos:

Os procedimentos são todos iguais, mudando apenas o expoente do termo (-1) e os determinantes de cada matriz . Determinantes

Definição:
Determinante de uma matriz de 1ª ordem
O determinante da matriz de ordem é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem A=[( )] temos que o determinante é o número real . det( A )=
Exemplo:

A=[3] ; então det ( A ) = 3. Determinante de uma matriz de 2ª