Integrais

de Cálculo II 1 Apostila de Cálculo II Antiderivada e Integral Indefinida Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo [a,b], é uma função F, tal que: dF (x ) = f (x ) para todo x ∈ [a, b] dx Notação de Leibniz: Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma função f , no intervalo [a, b] é O símbolo ∫ , notação de Leibniz. ∫ ( esse alongado de soma ), é o sinal da integral. d ( ∫ f(x) dx ) = f ( x dx ) Exemplo: Se a…

CAMPOS DA ROCHA APLICAÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAIS NA ENGENHARIA CIVIL: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II MACEIÓ- AL 2014 ISLANY THUNER DA SILVA SANTOS PLINIO RANILSON CAMPOS DA ROCHA APLICAÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAIS NA ENGENHARIA CIVIL: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Resolução de trabalho apresentadas como requisito avaliativo da disciplina Cálculo Diferencial e Integral II no 3° período- turma: C do curso…

ent˜o um bom m´todo para calcular a a e uma integral definida: encontrar uma anti-derivada e determinar sua varia¸˜o no ca intervalo de interesse. Por este motivo, buscamos nas propriedades das derivadas alguns dos chamados m´todos de integra¸˜o. Neste texto tratamos dos m´todos e ca e de integra¸˜o resultantes das duas principais regras de deriva¸˜o: a regra do ca ca produto (ou regra de Leibniz) e a regra da cadeia. 1 A Integral por Partes Come¸ando pela regra do…

Marcas de Pães Integrais Pães Integrais Pullman A qualidade que você já conhece dos pães Pullman em versões ainda mais saudáveis. As opções integrais são um jeito saboroso de aumentar a ingestão de fibras, vitaminas e minerais importantes para o funcionamento do organismo. Pães Integrais Panco Os pães são produzidos com farinha e mix de grãos integrais e têm quatro sabores: 15 Grãos, Ômega 3, Quinoa e Linhaça com Gérmen de Trigo. Estes Produtos visam atingir os…

´ 3. INTEGRAIS MULTIPLAS Integrais duplas: Objetivos: Ao final do cap´ıtulo espera-se que o aluno seja capaz de: 1. Encontrar o valor de uma integral dupla; 2. Interpretar geometricamente uma integral dupla; 3. Dada uma regi˜ao delimitada por fun¸c˜oes, encontrar os limitantes que permitem calcular o valor da integral dupla; 4. Calcular integrais duplas em coordenadas polares; 5. Resolver exerc´ıcios usando o Maple Integrais triplas: Objetivos: Ao…

Integração Múltipla e Integral de Linha INTEGRAIS DUPLAS 1.) Calcule a área da região R limitada pelos gráficos abaixo, através de integral dupla: a) r = 8cosθ e r = 12cosθ Resp.: 20π u.a. π Resp.: u.a. 12 9 ⎛ ⎞ 3 ⎟ u.a. Resp.: ⎜ 3π + 2 ⎠ ⎝ π Resp.: u.a. 6 ⎛π ⎞ Resp.: ⎜ + 2 ⎟ u.a. ⎝4 ⎠ b) uma pétala de r = cos(3θ) c) fora de r = 3 e dentro de r = 6senθ d) x2 + y2 = 4, y = x e y = 3x e) fora de r = 1 e dentro de r = 1 + cosθ 2.) Calcule a integral…

CAPÍTULO 7 - INTEGRAL DEFINIDA OU DE RIEMANN 7.1- Notação Sigma para Somas A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos, para isso introduzimos o conceito de somatório ( ∑ ). Exemplos: n 1+ 2 + 3 + 4 +L+ n = ∑k = k =1 n( n + 1 ) 2 n 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + L + n 2 = ∑ k 2 = k =1 ~ soma de inteiros sucessivos n( n + 1 )( 2n + 1 ) ~ soma de quadrados sucessivos 6 A integral de Riemann de uma função f (x ) num intervalo [a ,b] , é…

INTEGRAIS INDEFINIDAS Os dois mais importantes instrumentos do cálculo são a derivada, já estudada anteriormente e a integral, motivação de nossos próximos estudos. A reunião dos cálculos diferencial e integral (ligação chamada de teorema fundamental do cálculo) tornou-se a ferramenta mais poderosa que os matemáticos já obtiveram para entender o universo. Antiderivadas e Integração Indefinida Exemplo: é uma antiderivada de . Notemos que há uma família de antiderivadas de .

−cosec(u) + c 12. √ du = arcsen(u) + c 1 − u2 √ √ 6.3. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 269 Métodos de Integração Nas próximas seções apresentaremos os métodos mais utilizados que nos permitirão determinar uma grande quantidade de integrais não imediatas. O primeiro a ser estudado se baseia na regra da cadeia. 6.3 Método de Substituição Sejam F uma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F ◦ g esteja ′ definida. Usando a regra da cadeia;…

3. Integrais indefinidas e métodos de integração Um sociólogo que conhece a taxa na qual a população está crescendo pode querer usar esta informação para prever a população futura; um físico que conhece a velocidade de um corpo em movimento pode querer calcular a posição futura do corpo; um economista que conhece a taxa de inflação pode desejar estimar os preços futuros. O processo de obter uma função a partir de sua derivada é denominado antiderivação ou integração. Exemplos: (1) Qual