Exercícios Integrais

Lista de Exercícios de Integração Múltipla e Integral de Linha

INTEGRAIS DUPLAS
1.) Calcule a área da região R limitada pelos gráficos abaixo, através de integral dupla:
a) r = 8cosθ e r = 12cosθ

Resp.: 20π u.a. π Resp.:
u.a.
12
9
⎛
⎞
3 ⎟ u.a.
Resp.: ⎜ 3π +
2 ⎠
⎝
π
Resp.: u.a.
6
⎛π
⎞
Resp.: ⎜ + 2 ⎟ u.a.
⎝4
⎠

b) uma pétala de r = cos(3θ)
c) fora de r = 3 e dentro de r = 6senθ
d) x2 + y2 = 4, y = x e y =

3x

e) fora de r = 1 e dentro de r = 1 + cosθ

2.) Calcule a integral dupla conforme a função F(x,y) dada, para a região de integração
R. Se for conveniente, aplique a transformada polar. Nos itens c e d, considere apenas o primeiro quadrante.
a) R: x2 + y2 = 1, onde F(x,y) = 1 - x2 - y2
b) R: x2 + y2 = 25, onde F(x,y) = x
c) R: x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 25, onde F(x,y) = xy
d) R: x2 + y2 = 3, onde

F ( x, y ) =

(1 + x

1
2

π
2
Resp.: I d = zero
609
Resp.: I d =
8

Resp.: I d =

+ y2

)

3

2

Resp.: I d =

π
4

3.) Calcule a área da região R limitada pelos gráficos abaixo, através de integral dupla:
a)
b)
c)
d)
e)

x + y = 4, y – x = 0 e x = 0 y = x, y = 3x e x + y = 4 y = 4x – x2, y = x e y = 0 y = 4 – x2, y = -2 –x e y = x + 2 x = - y2, x – y = 4, y = -1 e y = 2

Valdson Simões – Cálculo IV

Resp.: 4
Resp.: 2
Resp.: 37/6
Resp.: 49/3
Resp.: 33/2

1

Lista de Exercícios de Integração Múltipla e Integral de Linha

INTEGRAIS TRIPLAS
4.) Calcule, através de integral tripla, o volume do sólido limitado pelos gráficos de:

128
5
Resp.: v = 32
20
Resp.: v =
3
Resp.: v = 60

a) z = 4 - x2, y + z = 4, y,z = 0

Resp.: v =

b) z = 4 - x2, z,y,z = 0 e y = 6
c) z = 1 + x2 + y2, z = 0, x = ± 1 e y = ± 1
d) x = 3, y = 5, z = 4, x,y,z = 0
5.) Calcule a quantidade de massa m, sendo:

a) S é o sólido limitado pelos planos y + z = 8, x,y,z = 0 e x = 6, sabendo que a densidade num ponto (x,y,z) é dada pela função F(x,y,z) = x.
Resp.: 576
b) S é o sólido limitado