Integrais - Resumo e exercícios

ROTEIRO DE ESTUDOS
Antiderivadas
Seja f uma fun¸˜o definida num intervalo I. Uma antiderivada ou primitiva de f em ca I, ´ uma fun¸˜o definida em I, tal que F (x) = f (x), para todo x em I. e ca
Na primeira parte do v´ ıdeo abaixo, vocˆs ter˜o um conceito mais aprofundadado do e a assunto e uma defini¸˜o mais abrangente sobre antiderivadas, vejam: ca http://www.youtube.com/watch?v=8XTvBwJgVkU
Na nota¸ao c˜ f (x) dx, a fun¸ao f denomina-se integrando. Uma primitiva de f ser´ c˜ a

´ tamb´m denominada uma integral indefinida de f . E comum referir-se a e f (x) dx como

a integral indefinida de f . No v´ ıdeo abaixo, vocˆs encontrar˜o dicas e exemplos que os e a ajudar˜o a compreender melhor a mat´ria. a e http://www.youtube.com/watch?v=DiXFHDncB3E Para melhor fixa¸ao, tente resolver os seguintes exerc´ c˜ ıcios:
1. Calcule.
a)

x3 dx

d)

√
3
x2 dx

b)

ex dx

e)

1 dx x

c)

(x5 +

f)

e2 x dx

b)

1 cos αx dx = α sin αx + k

b)

√
( 3 x + cos 3x) dx

1
+ 4) dx x2 2. Verifique que
1
sin αx dx =− α cos αx + k

a)

3. Calcule:
a)

sin 5x dx

Respostas
1. Quest˜o 1 a a)

x4
4
x

+k

x6

−

d)

b) e + k
c)

6

1
2x2

3
5

√
3

x5 + k

e) ln x + k
f)

+ 4x + k

2. Quest˜o 2 a 1

1 2 ex 2

+k

1
a) Derive f (x) = − α cos αx + k

b) Derive f (x) =

1 α sin αx + k

3. Quest˜o 3 a 1
a) − 5 cos 5x + k

b)

3
4

√
3

x4 + 1 sin 3x + k
3

Integra¸˜o por Partes ca Suponhamos f e g definidas e deriv´veis num mesmo intervalo I, temos: a [f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x), isto ´; e f (x)g (x) = [f (x)g(x)] − f (x)g(x)
Supondo, ent˜o, que f (x)g(x) admita primitiva em I e observando que f (x)g(x) ´ a e uma primitiva de [f (x)g(x)] , ent˜o f (x)g (x) tamb´m admitir´ primitiva em I, e a e a f (x)g (x) dx = f (x)g(x) −

f (x)g(x) dx (1)

que ´ a regra de integra¸ao por partes. e c˜
Fazendo u = f (x) e