Exercicios de integral de linha

Instituto Superior T´cnico e Departamento de Matem´tica a ´ Sec¸˜o de Algebra e An´lise ca a

Exerc´ ıcios Resolvidos Integral de Linha de um Campo Vectorial

Exerc´ ıcio 1 Considere o campo vectorial F (x, y, z) = Calcule o integral de linha
C

−

(x2

2x 2y , 2 , z2 . 2 )2 −y (x − y 2 )2

F onde C ´ a curva descrita pelo caminho e g(t) = (et , sen t, t) , 0≤t≤ π . 2

Resolu¸˜o: O dom´ ca ınio do campo F ´ o conjunto e R3 \ {(x, y, z) ∈ R3 : x = y} ∪ {(x, y, z) ∈ R3 : x = −y} que ´ a uni˜o de 4 conjuntos em estrela, limitados pelos planos x = y e x = −y, tal como se e a mostra na Figura 1, em que n˜o se apresenta a dependˆncia em z. a e Sendo et > | sen t| , t > 0, ent˜o a curva C est´ contida no conjunto em estrela a a S = {(x, y, z) ∈ R3 : x > |y|}. y x=y PSfrag replacements x x = −y

Figura 1: Esbo¸o do dom´ c ınio do campo F Sendo F um campo fechado, j´ que a
∂ ∂y ∂ ∂z ∂ ∂z 2x − (x2 −y2 )2 2x − (x2 −y2 )2 2y (x2 −y 2 )2

= − (x28xy2 )3 −y = = 0 0

= = =

∂ ∂x

2y (x2 −y 2 )2 ∂ ∂x ∂ ∂y

z2 z2 ,

e sendo S um conjunto em estrela, concluimos que F ´ um campo gradiante em S. e Portanto, pelo Teorema Fundamental do C´lculo, temos a π F = V (g( )) − V (g(0)), 2 C em que V designa um potencial escalar para F em S. 1

Para determinar um potencial V (x, y, z) deveremos resolver a equa¸ao c˜  ∂V 2x  ∂x = − (x2 −y2 )2    2y ∂V = (x2 −y2 )2  ∂y    ∂V = z 2. ∂z Da primeira equa¸ao obtemos, c˜ V (x, y, z) = Da segunda, 1 + k1 (y, z). x2 − y 2

V = F, ou seja,

∂k1 (y, z) = 0 ⇔ k1 (y, z) = k2 (z). ∂y z3 + k3 . 3

Finalmente, da terceira equa¸ao obtemos c˜ k2 (z) = z 2 ⇔ k2 (z) = Portanto o potencial tem a forma V (x, y, z) = onde k3 ´ uma constante. e Ent˜o, a F
C

z3 1 + + k3 x2 − y 2 3

π = V (g( )) − V (g(0)) 2 π π 2 , 0, ) − V (1, 0, 0) = V (e 2 π3 = e−π + −1 24

Exerc´ ıcio 2 Considere o campo definido em R2 \ {(0, 0)} por F (x, y) = x y ,− 2 x2 + 4y 2 x + 4y 2 .

Calcule o integral de linha de F ao longo da