Apostila integrais

Apostila de Cálculo II

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Apostila de Cálculo II Antiderivada e Integral Indefinida Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo [a,b], é uma função F, tal que:

dF (x ) = f (x ) para todo x ∈ [a, b] dx

Notação de Leibniz:

Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma função f , no intervalo [a, b] é O símbolo

∫

, notação de Leibniz.

∫

( esse alongado de soma ), é o sinal da integral.

d ( ∫ f(x) dx ) = f ( x dx

)

Exemplo: Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é

df = f ' ( x ) = Dx f ( x ) = 2x + 0 = 2 x , dx

então:

Uma primitiva de

df = 2x é dx

f(x) = x2 + 0 = x2 ;

outra primitiva é f(x) = x2 – 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 ,

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Apostila de Cálculo II

Assim, a função

f ( x ) = x2

+ C

é primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C é

uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C, obtém-se uma infinidade de primitivas. A integral ∫ f ' ( x )dx = f ( x ) + C , é chamada integral indefinida e representa uma família de primitivas. No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas. Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma translação vertical .

Significado geométrico da constante de integração “C “:

y = f (x ) + C1 y

y = f (x ) + C2 C1 y = f (x ) + C3 x C2 C3 y = f ( x ) + C4

C4

Geometricamente: a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo 0y.

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Apostila de Cálculo II Propriedades da integral indefinida: ∫ C f(x)dx = C ∫ f(x) dx, onde C ∈ ℜ

;

dx ∫ [f(x) ± g(x)] = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

Tabela das integrais indefinidas fundamentais:
Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒ em I , se e somente se: d(Gx ) = f (x ) dx 1. ∫ u n du = 2 3 u n +1 + C para n +1 du −1 = ln u + C ∫ u du = ∫ u u u ∫ a ln a du = a + C u u ∫ e du = e + C

para ∀ x ∈ I

n ≠ −1

4 5 6 7 8 9 10

∫ cos u du = senu + C ∫ senu du