conceito de integral

M´todos de Integra¸˜o e ca
Notas de aula relativas aos dias 14 e 16/01/2004
J´ conhecemos as regras de deriva¸˜o e o Teorema Fundamental do C´lculo. a ca a Este diz essencialmente que se f for uma fun¸˜o “bem comportada”, e conheca cermos uma fun¸˜o F tal que F = f (ou seja, F ´ uma anti-derivada de f ), ca e ent˜o a b f (x) dx = F (b) − F (a) .

(1)

a

O Teorema Fundamental do C´lculo aponta ent˜o um bom m´todo para calcular a a e uma integral definida: encontrar uma anti-derivada e determinar sua varia¸˜o no ca intervalo de interesse. Por este motivo, buscamos nas propriedades das derivadas alguns dos chamados m´todos de integra¸˜o. Neste texto tratamos dos m´todos e ca e de integra¸˜o resultantes das duas principais regras de deriva¸˜o: a regra do ca ca produto (ou regra de Leibniz) e a regra da cadeia.

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A Integral por Partes

Come¸ando pela regra do produto de derivadas, usamos o Teorema Fundamental c do C´lculo para chegar a uma express˜o a primeira vista ingˆnua, mas que se a a e mostra de grande utilidade.
Sejam f (x) e g (x) duas fun¸˜es bem comportadas. Sabemos que co (f g) = f g + f g .

(2)

Fazendo ent˜o a integral indefinida de todas essas express˜es, obtemos a o
(f g) dx =

f g dx +

f g dx,

(3)

(f g) dx −

f g dx.

(4)

que pode ser reescrita como f g dx =

Agora usamos o Teorema Fundamental do C´lculo, que nos diz que a (f g) dx = f g + C,

(5)

e portanto a express˜o (4) pode ser reescrita como a f g dx = f g −

f g dx,

(6)

onde a constante C n˜o precisa ser escrita pois a igualdade acima ´ uma iguala e dade entre anti-derivadas (dito de outra maneira, em cada membro temos um
+C).
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A express˜o (6) ´ uma maneira de escrever o chamado m´todo de integra¸˜o a e e ca por partes, onde de fato, trocamos o trabalho de resolver uma integral por outra.
Pode n˜o parecer de grande valia, em uma primeira e apressada opini˜o, mas a a os exemplos