Ficha de exercicio

reta por P e paralela ao vetor a. a) P ( 1,2,3 ) e a = i + 2j + 3k b) P ( 0,0,0 ) e a=j c) P ( - 1, 5, - 3) e a = - i + 3k 2) Determine as equações paramétricas da reta pelos pontos P e Q. a) P ( 3,- 2) e Q (5,1) b) P (0,1) e Q ( - 3,- 4) c) P (5,- 2,1) e Q ( 2,4,2) d) P (- 1,3,5) e Q (- 1,3,2) 3) Determine as equações paramétricas para a reta cuja equação vetorial é dada por: a) < x, y > = < 2, - 3 > + t < 1, -4 > b) xi + yj +zk = k + t ( i –j + k) c) xi + yj + zk = -i + 2k + t ( -i + 3j) 4) Escreva as equações simétricas da reta nas seguintes condições: a) Passa por P (- 5,2) e é paralela a a = 2i –3j b) Passa por P ( 0,3) e é paralela à reta x = - 5 + t, y = 1 – 2t c) Passa por P ( - 1, 2, 4) que é paralela a 3i – 4j + k d) Passa por em (- 2, 0, 5) que é paralela à reta x = 1 + 2t, y = 4 – t, z = 6 + 2t e) Contém o ponto (2,3,4) e é paralela aos planos xz e yz. f) Contém o ponto (2,3,4) e é perpendicular ao plano 3x + 2y – z = 6. g) Passa pela origem e é perpendicular às retas que têm por números direcionais [ 4,2,1] e [ -3, - 2, 1 ]. h) Passa pelo ponto ( 2, 0, -4 ) e é paralela a cada um dos planos 2x + y – z = 0 e x + 3y + 5z = 0. 5) Determinar m e n para que o ponto P ( 3, m, n ) pertença a reta x = 1 – 2t, y = - 3 – t , z = - 4 + t 6) Determinar os pontos da reta r : a) abscissa 5 x3 y 1 z 2  1  2 que têm b) ordenada 4 c)…

misto e reta 1. Dados os vetores u = (3, −1, 1), v = (1, 2, 2) e w = (2, 0, −3). Calcule: (a) u · (v × w) (b) w · (u × v) (c) v · (w × u) 2. Verifique se são coplanares os seguintes vetores: (a) (b) u = (3, −1, 2), v = (1, 2, 1) e w = (−2, 3, 4) u = (2, −1, 0), v = (3, 1, 2) e w = (7, −1, 2) 3. Sejam os vetores u = (1, 1, 0), v = (2, 0, 1), w1 = 3u−2v, w2 = u+3v e w3 = i+ j−2k = (1, 1, −2). Determinar o volume do paralelepípedo definido pelos vetores w1 , w2 e…

concorrentes, isto é, r1 ∩ r2 = {P }, então ∠(r1 , r2 ) é o menor dos ângulos positivos determinados pelas retas no plano que as contém. Em particular, 0o < ∠(r1 , r2 ) ≤ 90o . Fig. 1: Retas concorrentes: θ = ∠(r1 , r2 ) < ϕ. • se r1 ∩ r2 = ∅, temos duas situações a considerar: ◦ se r1 r2 , então ∠(r1 , r2 ) = 0o . ◦ se r1 e r2 não são paralelas e não se intersectam, dizemos que as retas são reversas. Neste caso, seja P ∈ r1 e seja r2 a paralela a r2 que passa por…

Aula 13 Sejam r1 = { P 1 + t − v→ 1 | t ∈ R} e r2 = { P2 + t− v→ 2 | t ∈ R} duas retas no espaço. Se r1 = r2 , sabemos que r1 e r2 são concorrentes (isto é r1 ∩r2 = ∅) ou não se intersectam. Quando a segunda possibilidade ocorre, temos ainda duas situações a considerar: as retas podem ser paralelas ou reversas. Definição 1 A distância entre r1 e r2 é o número d(r1 , r2 ) dado por: d(r1 , r2 ) = min d(P, Q) | P ∈ r1 e Q ∈ r2 } Se as retas se intersectam, a definição diz que d(r1…

das retas que passam por P e Q nos casos a seguir: ¸˜ e (a) P = (1, 3) e Q = (2, −1). (b) P = (5, 4) e Q = (0, 3). 2. Dados o ponto P = (2, −1) e a reta r : y = 3x − 5, encontre a equacao param´ trica da reta que cont´ m o ponto P e ¸˜ e e ´ ` (a) e paralela a reta r. ´ ` (b) e perpendicular a reta r. − 3. Dados o ponto A = (2, 3) e o vetor → = (1, −2). v (a) Escreva equacoes param´ tricas da reta r que passa por A e tem direcao →. ¸˜ e ¸˜ − v (b) Encontre os dois pontos B e C de r de…

D I S C I P L I N A Cálculo II Funções vetoriais Autores Benedito Tadeu Vasconcelos Freire Joaquim Elias de Freitas Roosewelt Fonseca Soares aula 01 Governo Federal Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Revisoras de Língua Portuguesa Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Câmara Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância – SEED Ronaldo Motta …

Dra. Diana Andrade & Prof. Dr. Sergio Pilling Parte1 - Movimento Retilíneo (continuação) Velocidade instantânea e aceleração. 1 Velocidade Instantânea Se conhecemos a posição do corpo em cada instante de tempo podemos calcular velocidades médias para diferentes intervalos, conhecendo-se, assim, novos aspectos do movimento. Nesse caso, partimos da (coordenada de) posição em função do tempo para obter as velocidades médias. Se dois movimentos começam e terminam nos mesmos pontos e…

Geometria Analítica – O Estudo da Reta 1. Professor: 3º Ano do Ensino Médio 3 horas aula 1. Revisando  Dois pontos do plano cartesiano definem  A equação geral da reta é dada por: ax +by +c = 0 UMA e APENAS UMA reta Onde: “x” corresponde à abscissa do ponto “y” corresponde à ordenada do ponto “a,b, c” são números reais “a, b” não são simultaneamente nulos  Coeficiente linear = termo independente Para obter a equação geral da reta, que passa…

LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA DA 3ª SÉRIE GEOMETRIA ANALÍTICA nº 3 (1ª) Dados A(5,3) e B(-1,-3), seja C a intersecção da reta AB com o eixo das abscissas. Calcule a razão (AC/CB). (2ª) Determine os pontos que dividem AB em quatro partes iguais quando A(3,-2) e B(15,10). (3ª) Dados os vértices P(1,1), Q(3,-4) e R(-5,2) de um triângulo, calcule o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q. (4ª) O baricentro de um…

da Bahia ´tica Instituto de Matema ´ DISCIPLINA: MATA03 - CALCULO B UNIDADE I - LISTA DE EXERC´ICIOS Atualizada 2013.2 ´ Areas de figuras planas em coordenadas cartesianas [1] Determine a ´area da regi˜ao do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.2) x = 8 + 2y − y 2 , y = 1, y = 3 e x = 0 (1.3) xy = 4 e x + y = 5 (1.4) y = 2x , y = 2x − x2 , x = 0 e x = 2 (1.5) y = 2x, y = 1 e y = 2 x (1.6) y = |x2 − 4|…