Aula Retas Geometria Analitica

Aula 13

Sejam

r1 = { P 1 + t − v→ 1 | t ∈ R}

e

r2 = { P2 + t− v→ 2 | t ∈ R}

duas retas no espaço.

Se r1 = r2 , sabemos que r1 e r2 são concorrentes (isto é r1 ∩r2 = ∅) ou não se intersectam.
Quando a segunda possibilidade ocorre, temos ainda duas situações a considerar: as retas podem ser paralelas ou reversas.

Definição 1
A distância entre r1 e r2 é o número d(r1 , r2 ) dado por: d(r1 , r2 ) = min d(P, Q) | P ∈ r1

e Q ∈ r2 }

Se as retas se intersectam, a definição diz que d(r1 , r2 ) = 0. Assim, os casos importantes a considerar ocorrem quando r1 ∩ r2 = ∅.

1.

Distância entre duas retas paralelas no espaço

−
→
Suponhamos que r1 r2 . Então − v→ 1 e v2 são colineares, r1 ∩r2 = ∅ e existe um plano π que contém ambas as retas.
Seja P1 ∈ r1 e R1 o pé da perpendicular baixada de P1 sobre a reta r2 . Então, d(P, Q) ≥ d(P, R) = d(P1 , R1 ) . quaisquer que sejam os pontos P ∈ r1 e Q ∈ r2 , onde
R é o pé da perpendicular baixada de P sobre a reta r2 , pois P1 R1 RP é um quadrilátero contido no plano π.
Fig. 1: d(P, Q) ≥ d(r1 , r2 ), para todo Q ∈ r2 e P ∈ r1 .

Logo d(r1 , r2 ) = d(P1 , R1 ) = d(P1 , r2 ) qualquer que seja o ponto P1 ∈ r1 .

Exemplo 1
Mostre que a reta r1 que passa por A1 = (1, 2, 1) e B1 = (2, 1, 0) é paralela à reta r2 que passa por A2 = (0, 1, 2) e B2 = (1, 0, 1). Calcule a distância entre r1 e r2 .

Geometria Analítica - Aula 13

Solução.
Temos

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−−−→
−
v→
1 = A1 B1 = (1, −1, −1)

−−−−→
−
v→
2 = A2 , B2 = (1, −1, −1)

e

r1

r2 .

−
→
Logo − v→ 1 = v2 , e as retas r1 e r2 são: r1 = {A1 + t − v→ 1 | t ∈ R} = {(1 + t, 2 − t, 1 − t) | t ∈ R} ,
−
→ r2 = {A2 + s v2 | s ∈ R} = {(s, 1 − s, 2 − s) | s ∈ R} .
Para verificar que r1 r2 , basta verificar que um ponto de r2 não pertence a r1 , pois já sabemos que − v→ e − v→ são múltiplos. Por exemplo, vejamos que B = (1, 0, 1) ∈ r .
1

2

2

1

De fato, se B2 = (1, 0, 1) ∈ r1 , então deveria existir um valor t ∈ R tal que:


 1+t=1
2−t=0


1 − t = 1.
Da segunda dessas identidades obtemos t = 2