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Quando dizemos “raiz de uma equação”, nos referimos ao resultado final de uma equação qualquer. As equações de 1º grau (do tipo ax + b = 0, onde a e b são números reais e a≠0) possuem apenas uma raiz, um único valor para sua incógnita. As equações de 2º grau (do tipo ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a≠0) podem ter até duas raízes reais. O número de raízes de uma equação do 2º grau irá depender do valor do discriminante ou delta: ∆. Equações completas do 2º grau são resolvidas aplicando a fórmula de Bháskara: Condições de existência da raiz de uma equação do 2º grau: Nenhuma raiz real: quando delta for menor que zero. (negativo) ∆ < 0 x² - 4x + 5 = 0 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-4)² - 4*1*5 ∆ = 16 – 20 ∆ = - 4 Uma única raiz real: quando delta for igual a zero. (nulo) ∆ = 0 4x² - 4x + 1 = 0 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-4)² - 4*4*1 ∆ = 16 – 16 ∆ = 0 Duas raízes reais: quando delta for maior que zero. (positivo) ∆ > 0 x² - 5x + 6 = 0 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-5)² - 4*1*6 ∆ = 25 - 24 ∆ = 1 Quando dizemos “raiz de uma equação”, nos referimos ao resultado final de uma equação qualquer. As equações de 1º grau (do tipo ax + b = 0, onde a e b são números reais e a≠0) possuem apenas uma raiz, um único valor para sua incógnita. As equações de 2º grau (do tipo ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a≠0) podem ter até duas raízes reais. O número de raízes de uma equação do 2º grau irá depender do valor do discriminante ou…

Equações algébricas 1) Verifique quais são os números do conjunto A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3} que são raízes da equação: x4 - 4x3 - x2 + 16x – 12 = 0. 2) Resolva a equação 2x4 - 7x3 + 5x2 - 7x + 3 = 0, sabendo que e 3 são raízes. . 3) Qual o menor grau que pode ter uma equação que tenha por raízes 2, 3i, 1+ i? S = 5 raízes. 4) Resolver a equação x4 - 4x3 + 12x2 + 4x – 13 = 0 sabendo que uma de suas…

RELAÇÕES DE GIRARD 1. (FGV - SP) O valor de m , de modo que –1 seja raiz da equação x ³ + (m+2)x² + (1-m)x - 2 = 0, é igual a: a. 0 b. -1 c. 1 d. –2 e. 2 2. ( UFRN ) Seja P(x) = x³ + 6x – x – 30. Se P(2) = 0, então o conjunto solução de P(x) = 0 é : a. {-2, -3, -5} b. {2, -3, -5} c. {2, -2} d. {2, 3, 5} e. {2, 6, 30} 3. ( PUC -SP ) A equação do terceiro grau cujas raízes são 1,2 e 3 é: a. x³ - 6x² + 11x – 6 =0 b. x³ - 4x² + 3x – 5 = 0 c. x³ + x² + 3x – 5 = 0…

de m , de modo que –1 seja raiz da equação x ³ + (m+2)x² + (1-m)x - 2 = 0, é igual a: a. 0 b. -1 c. 1 d. –2 e. 2 2. ( UFRN ) Seja P(x) = x³ + 6x – x – 30. Se P(2) = 0, então o conjunto solução de P(x) = 0 é : a. {-2, -3, -5} b. {2, -3, -5} c. {2, -2} d. {2, 3, 5} e. {2, 6, 30} 3. ( PUC -SP ) A equação do terceiro grau cujas raízes são 1,2 e 3 é: a. x³ - 6x² + 11x – 6 =0 b. x³ - 4x² + 3x – 5 = 0 c. x³ + x² + 3x – 5 = 0 d. x³ + x²…

Resolução de equações não lineares Raiz de uma equação  Raiz exata  Um número xr é raiz exata de uma equação f(x)=0 se f(xr)=0  Raiz aproximada  Um número x’ é raiz aproximada de uma equação f(x)=0 se |x’-xr| e |f(x’)| forem ambos próximos de 0  Comparar o módulo da subtração da raiz é basicamente uma operação teórica, pois não se pode obter a raiz exata Calculando as raízes Para calcular as raízes reais de uma equação f(x)=0 é necessário:  1) delimitar, enumerar e…

RELAÇÕES DE GIRARD 1. (FGV - SP) O valor de m , de modo que –1 seja raiz da equação x ³ + (m+2)x² + (1-m)x - 2 = 0, é igual a: a. 0 b. -1 c. 1 d. –2 e. 2 2. ( UFRN ) Seja P(x) = x³ + 6x – x – 30. Se P(2) = 0, então o conjunto solução de P(x) = 0 é : a. {-2, -3, -5} b. {2, -3, -5} c. {2, -2} d. {2, 3, 5} e. {2, 6, 30} 3. ( PUC -SP ) A equação do terceiro grau cujas raízes são 1,2 e 3 é: a. x³ - 6x² + 11x – 6 =0 b. x³ - 4x² + 3x – 5 = 0 c. x³ + x² + 3x – 5 = 0…

número 1 é raiz da equação P(x) = 0. Solução. Para determinar esta multiplicidade, basta verificar o número de vezes que o polinômio se anula na divisão por (x – 1). Isto pode ser feito aplicando sucessivamente o algoritmo de Briot-Ruffini. Como houve três restos nulos na divisão por (x – 1), o polinômio é divisível por (x – 1)3. Mas ainda há uma raiz. O último quociente da divisão exata é (x – 2), cuja raiz é 2. A decomposição do polinômio é: P(x) = (x – 1)3.(x – 2), onde x = 1 é…

Equações polinomiais Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio: p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos: x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0 10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0 x8 – x6 – 6x + 2 = 0 x10 – 6x2 + 9 = 0 As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos…

Cartas: 1-) Resolve a equação: Soma as suas raízes e avança tantas casas quanto a resposta desta soma. 2-) 2) A equação: É uma equação do 2º grau? Se é, permaneça no lugar, caso contrário, avance 2 casas. 3-) Resolva a equação 3) 4) Resolve a equação: Soma as suas raízes e avança tantas casas quanto a resposta desta soma. 5) Resolve a equação: Soma as suas raízes e avança tantas casas quanto a resposta desta soma. 6) Resolve a equação: Soma…

c) três raízes imaginárias d) uma raiz imaginária e duas raízes reais e) duas raízes imaginárias e uma raiz real Solução. Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos: 1 1 0 0 0 -1 1 1 1 1 0 O quociente é q(x) = x3 + x2 + x + 1. Pela pesquisa de raízes, vemos que x = -1 é uma das raízes de q(x). Aplicando novamente Briot-Ruffini, temos: -1 1 1 1 1 1 0 1 0 O novo quociente é q’(x) = x2 + 1…