equações

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br

Exercícios de Equações algébricas - GABARITO

1) Seja P(x) = x4 - 5x³ + 9x² - 7x + 2. Determine com que multiplicidade o número 1 é raiz da equação P(x) = 0.

Solução. Para determinar esta multiplicidade, basta verificar o número de vezes que o polinômio se anula na divisão por (x – 1). Isto pode ser feito aplicando sucessivamente o algoritmo de Briot-Ruffini.

Como houve três restos nulos na divisão por (x – 1), o polinômio é divisível por (x – 1)3. Mas ainda há uma raiz. O último quociente da divisão exata é (x – 2), cuja raiz é 2. A decomposição do polinômio é: P(x) = (x – 1)3.(x – 2), onde x = 1 é raiz de multiplicidade 3.

2) (FATEC-SP) Seja i2 = -1. A equação x3 -5x2 + mx + n = 0 admite a raiz dupla (a+bi) e a raiz simples (-1+di) onde, a, b, d, m e n são números reais. Nessas condições, encontre o valor de (m+n).

Solução. Esta questão é conceitual. Repare que pelo teorema das raízes complexas, se uma raiz é complexa, então seu conjugado também o é. Logo, se (a + bi) é raiz, então (a – bi) também é raiz. Como ela é dupla, teríamos já quatro raízes: duas iguais a (a + bi) e duas iguais a (a – bi) o que seria absurdo, pois a equação é de grau 3. Logo, a parte imaginária deve ser nula. Isto é b = 0. Então há uma raiz dupla x = a.
Resta, portanto mais uma raiz. Se (– 1 + di) é raiz, então (– 1 – di) será raiz. Absurdo novamente, pois teríamos quatro raízes no total. Logo, d = 0. Então as raízes são: x = a (dupla) e x = -1 (simples). A soma das raízes pelas relações de Girard vale 5. Logo, (a + a – 1) = 5, implicando 2a = 6, resultando a = 3. Substituindo as raízes na equação e igualando a zero, temos:

.

A equação é, portanto x3 – 5x2 + 3x + 9 = 0. Verifique que:
i) A soma das raízes é S = 3 + 3 – 1= 5. ii) Soma dos produtos das raízes duas a duas vale: (3).(-1) + (3).(-1) + (3).(3)