Equações

Matemática - Equações e Inequações - V2.0

6 de junho de 2013

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Equações

1.1 Denição

equação

Entende-se por toda armação que estabelece igualdade entre outras duas expressões matemáticas. Em notação moderna, isso é expresso colocando-se o sinal = (igualdade) entre as expressões.
Exemplo 1.

3x + 2 = x2 − 2

Essa equação nos diz que a expressão 3x + 2 é igual à expressão x2 − 2.
Isso se verica ser verdade fazendo a substituição x = −1 ou x = 4, ou seja, a equação possui duas soluções.
Exemplo 2.

x2 = 4 x3 − 9x2 − 7 = 4 sen2 (x) + cos2 (x) = 1 y + 1 = 17

Todas essas expressões são exemplos de equações, onde x e y são chamadas incógnitas, os números ou quantidades desconhecidos a serem descobertos.
Existem vários tipos de equações, tais como algébricas, lineares, quadráticas, polinomiais, diferenciais, integrais, transcendentais, Diofantinas, paramétricas, etc.
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1.2 Resolvendo Equações
Resolver uma equação signica encontrar incógnita que a tornam verdadeira.

todos os possíveis valores da sua

Na equação 3x + 2 = x2 − 2, a substituição x = 4 a torna verdadeira, ou seja, 4 é chamado de ou da equação. Já a substituição x = 2 não torna a equação verdadeira, isto é, 2 não é solução ou raiz da equação dada.
Exemplo 3.

solução

Duas equações são ditas junto de soluções.
Exemplo 4.

raiz

equivalentes quando possuem o mesmo con-

Vamos considerar as seguintes equações: x2 + 3x = 0

(1)

x+4=1

(2)

2x + 8 = 2

(3)

A equação (1) admite como soluções x = 0 ou x = −3. Já as equações
(2) e (3) admitem como solução x = −3. Notamos então que (1) e (2) não são equivalentes, nem (1) e (3); mas (2) e (3) o são. Podemos escrever então x + 4 = 1 ⇔ 2x + 8 = 2.
Se uma equação é verdadeira, as seguintes operações podem ser usadas para produzirmos outras equações verdadeiras, equivalentes à original:
1. Adicionar qualquer número real em ambos os lados da igualdade;
2. Subtrair qualquer número real