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Equações Diofantinas

Nível Intermediário

Denominaremos equação diofantina (em homenagem ao matemático grego Diofanto de Alexandria) uma equação em números inteiros. Nosso objetivo será estudar dois tipos particulares de equações diofantinas, a equação de Pitágoras e a de Pell, e determinar suas soluções. Também estudaremos o método da descida, que nos permitirá mostrar que algumas equações diofantinas não possuem soluções não triviais, num sentido a ser precisado.
Equações Diofantinas infinitas
Um exemplo de uma equações diofantina infinita é: N=A²+2B²+3C²+4D²+5E²+ ... a qual pode ser expressada da seguinte forma: "De quantas formas pode um inteiro N ser escrito como a soma de um quadrado mais a soma do dobro de um quadrado mais a soma do triplo de um quadrado e assim sucessivamente?" O número de vezes as quais isso pode ser feito para cada N forma uma sequência de inteiros. Equações Diofantinas infinitas são relacionadas com funções teta e retículos dimensionais infinitos. A equação sempre possui uma solução para qualquer N' positivo. Compare isso com: N=A²+4B²+9C²+16D²+25E²+ ... a qual nem sempre possui uma solução para um N positivo.
Equações diofantinas lineares
Equações diofantinas lineares assumem a forma ax + by = c. Se c for o maior divisor comum de a e b, então esta equação torna-se uma identidade de Bézout, o que a caracteriza com uma quantidade infinita de soluções, as quais podem ser encontradas aplicando-se o Algoritmo de Euclides estendido. Há ainda uma quantidade infinita de soluções se c for um múltiplo do maior divisor comum de a e b. Caso contrário, a equação Diofantina ax+by=c não possui solução.
Equações Diofantinas exponencias
Se uma equação Diofantina possui uma variável adicional ou variáveis ocorrendo como expoentes, ela é classificada como uma equação Diofantina exponencial. Um exemplo é a equação de Ramanujan-Nagell, 2n − 7 = x2; Tais equações não possuem uma teoria central; casos particulares como a conjectura de