geometria analitica

INICIAIS 1- Distância entre dois pontos na reta d(A,B) = Ex: Dados os pontos A e B de coordenadas 2 e 8 respectivamente, calcular a distância entre A e B. d(A,B) = d(A,B) = d(A, B) = 6 2- Sistema cartesiano ortogonal Se P pertence ao eixo das abscissas, suas coordenadas são (a, 0). Se P pertence ao eixo das ordenadas, suas coordenadas são (0, a). Se P pertence à bissetriz do 1º e 3º quadrantes, suas coordenadas são iguais. Se P pertence à bissetriz do 2º e 4º quadrantes, suas coordenadas são simétricas. 3- Distância entre dois pontos no plano 4- 5- d(A,B) = Exercícios E1) Dada a reta real da figura, calcule: a) d(A, B) b) d(A, C) c) d(B, C) d) d(C, A) E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. E3) Se na reta real, os pontos A, B e C têm coordenadas 2,  8 e  3, respectivamente, calcule o comprimento do segmento: a) AB b) BC c) CB d) CA E4) A distância entre dois pontos M e N de abscissas 3 e k, respectivamente, é igual a 10. Calcule os possíveis valores de k. E5) Calcule, em cada caso, a distância entre os dois pontos dados: a) (1, 3) e (9, 9) b) (3, 1) e (5, 14) c) ( 4,  2) e (0, 7) E6) Calcule o comprimento do segmento AB, sendo A e B E7) Dados os pontos A (2, 3) e B (4, 1), calcule d(A, B). E8) Calcule a distância do ponto M (12, 9) à origem.

em um ponto, Descartes escreveu “La Géometrie”, na qual introduz a noção de coordenadas. Considerando duas grandezas relacionadas entre si, representou uma delas sobre um dos eixos e a outra sobre o outro eixo; construindo, por meio de paralelas, os outros dois lados, completou a figura de um paralelogramo, definindo e caracterizando um ponto no plano. Todo o seu trabalho consistia, então, em partir de um problema geométrico, traduzi-lo para uma linguagem de equação algébrica e,…

GEOMETRIA ANALÍTICA Distância entre Dois Pontos Sejam os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo d(A, B) a distância entre eles, temos: Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem: [d ( A, B )]² = ( AC )² + (BC)² [d ( A, B )]² = ( Xb - Xa )² + ( Yb - Ya )² d ( A, B ) = ( Xb - Xa )² + ( Yb - Ya )² Exemplos 1) São dados A (3, -1), B (1, 1) e C (5, 5) a) Calcule o perímetro do triângulo ABC. b) Mostre que ABC é um triângulo retângulo 2) Obtenha o ponto P do eixo das…

Eixos Coordenados Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P. Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas…

Geometria Analítica 27 CAPÍTULO 4 A Reta no Plano 4 – Estudo da reta no ℝ 2 4.1 - Condição de Alinhamento de 3 pontos no ℝ 2 Consideremos 3 pontos alinhados A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) do ℝ 2 . ˆ Da semelhança dos triângulos retângulos ADB e BEC, temos: BÂD = CBE . Como tg (BÂD) = tem-se : Daí : yB − y A yB − y A xB − x A y c − yB ˆ = tg (CBE) = y c − yB x c − xB xB − x A x c − xB (yB − yA) ⋅ (xC − xB) = (xB − xA) ⋅ (yC − yB) =…

Exercício 01. Dada à hipérbole de equação 5x2 – 4y2 – 20x – 8y – 4 = 0 determine os focos e as equações das assintotas. Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 – 4x + 4 – 4] – 4[y2 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x – 2)2 / 4 – (y + 1)2 / 5 = 1. Então o centro é C(2,–1). Como a incógnita x vem na parte positiva o eixo real está na horizontal, e os valores de a = 2 e b= . Como na hipérbole…

Estudo da Reta 1. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: a) A(-1, -2) e B(5, 2) e) I(-2, 1) e J(2, 0) b) C(2, -1) e D(-3, 2) f) K(0, 3) e L(2, 0) c) E(2, 3) e F(8, 5) g) M(-2, 1) e N(0, 3) d) G(2, 3) e H(-2, -3) h) O(1, 4) e P(2, 7) 2. Verifique se o ponto P pertence à reta dada: a) P(1, 3) e x – y +2 = 0 d) P(3, 11) e 4x – y – 1 = 0 b) P(2, 7) e x + y – 1 = 0 e) P(-3, 2) e x + y + 4 = 0 c) P(-2, 2) e x + 3y – 4 = 0 f) P(-3, -1) e –x – y – 4 = 0 3.…

INCLINAÇÃO DE UMA RETA DEFINIÇÃO 1 : A inclinação de uma reta r é o menor ângulo , positivo, que ela forma com o eixo dos x e é medido partindo-se do eixo dos x, no sentido anti-horário, até a reta dada. EXEMPLOS: a) b) r r  x x Se 0o < < 90o, a reta é crescente Se 90o< < 180o, a reta é decrescente c) r d) …

COORDENADAS CARTESIANAS NA RETA...................................................................................04 1.2. COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO.................................................................................04 2. FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS DO PLANO CARTESIANO......................................06 3.PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO.....................................................................................07 4. BARICENTRO DE UM…

3.2 – Equação Fundamental, Equação Reduzida e Equação Geral da Reta Sabemos que dois pontos distintos A e B determinam uma reta, ou seja, dados dois pontos distintos A e B, existe uma única reta que passa pelos dois pontos e mais mAB  y2  y1 , se x2  x1 x2  x1 . Vamos agora determinar a equação da reta que passa pelos pontos distintos A   x1 , y1  e B   x2 , y2  . Temos que considerar duas situações: I) x1  x2  k , ou seja, a reta que passa por A e B é uma reta…