ponto e reta

3.3.2 – Equação Fundamental, Equação Reduzida e Equação Geral da Reta
Sabemos que dois pontos distintos A e B determinam uma reta, ou seja, dados dois pontos distintos A e B, existe uma única reta que passa pelos dois pontos e mais mAB 

y2  y1
, se x2  x1

x2  x1 .
Vamos agora determinar a equação da reta que passa pelos pontos distintos A   x1 , y1  e

B   x2 , y2  . Temos que considerar duas situações:
I) x1  x2  k , ou seja, a reta que passa por A e B é uma reta vertical.

Portanto a reta r é a reta formada pelos pontos

k, y  ,

ou seja, os pontos de abscissa

x  k . Neste caso, a equação da reta é r : x  k .
II) x2  x1 , ou seja, a reta r que passa pelos pontos A e B não é uma reta vertical.

Considerando P   x, y  um ponto genérico dessa reta, temos que mAB  mBP , pois os pontos A, B e P estão alinhados.

Assim, como

mAB 

y2  y1 y  y2 e mBP  x  x2 x2  x1

então

y  y2 y2  y1 y y

 y  y2  2 1  x  x2  . x  x2 x2  x1 x2  x1
Portanto a equação da reta que passa pelos pontos distintos A   x1 , y1  e B   x2 , y2  é dado por y  y2 

y2  y1 y y
 x  x2  , ou y  y2  mr  x  x2  onde mr  2 1 é coeficiente angular x2  x1 x2  x1

da reta. Essa equação é denominada Equação Fundamental da reta.

Observação:

I) Se escolhermos o ponto particular  0, n  em que a reta intercepta o eixo y, pela equação anterior teremos: y  n  mr ( x  0)  y  mx  n
A equação y  mr x  n é denominada Equação Reduzida da reta r onde n é chamado coeficiente linear.

 ou seja, a equação reduzida da reta horizontal r que passa pelo ponto P  x , y 



II) Caso a reta r seja horizontal então mr  tg 0  0 e assim teremos y  y p  0 x  x p , p p

é dada

por y  y p .
III) Podemos ainda representar uma reta r através da equação ax + by + c = 0, oriunda da





equação fundamental y  y p  mr x  x p . A equação ax + by + c = 0 é denominada