CONICAS

Exercício 01.
Dada à hipérbole de equação 5x2 – 4y2 – 20x – 8y – 4 = 0 determine os focos e as equações das assintotas.
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 – 4x + 4 – 4] – 4[y2 +
2y + 1] = 0 e daí, 5(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x – 2)2 / 4 – (y + 1)2 / 5 = 1. Então o centro é C(2,–1). Como a incógnita x vem na parte positiva o eixo real está na horizontal, e os valores de a = 2 e b= . Como na hipérbole c2 = a2 + b2 vem que c2 = 4 + 5 = 9 e daí, c = 3.

Os focos são F1(2 – 3,–1) = (–1,–1) e F2(2 + 3,–1) = (5,–1).
As assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a e m = – b / a, logo temos: r1 : y – yo = m(x – xo) onde yo = k = –1 e xo = h = 2 e m = –
(x – 2) e; r2 : y – yo = m(x – xo) é dada por: 2(y + 1) =

/ 2, logo 2(y + 1) = –

(x – 2).

Exercício 2.
Identifique a cônica de equação 25x² - 36y² - 100x - 72y - 836 = 0; seus elementos e faça um esboço de seu gráfico.
Solução: Dada a equação 25x² - 36y² - 100x - 72y - 836 = 0; primeiro agrupamos os termos em x e os termos em y: 25(x² - 4x) - 36(y² + 2y) - 836 = 0; completamos o quadrado: 25[(x - 2)² - 4] - 36[(y + 1)² - 1] - 836 = 0; e reescrevemos: 25(x - 2)² - 100 36(y + 1)² + 36 - 836 = 0 ) 25(x - 2)² - 36(y + 1)² - 900 = 0; finalizamos colocando no formato canônico: (x - 2)² / 62 - (y + 1)² / 52 = 1
Vemos, portanto (observe o sinal -), que se trata de uma hipérbole com a = 6; b = 5 e
61 ; pois c² = 36+25 = 61: Além disto, temos:c =
Elementos:
Centro: C = (2;_1)
Vértices: V1 = (_4;_1) e V2 = (8;_1)

Focos: F1 = (2 _ p61;_1) e F2 = (2+p61;_1)
Assíntotas: y = 5/6(x - 2) - 1 e y = - 5/6(x - 2) - 1
Excentricidade: e = √61/6
Exercício 3.
Identifique a cônica de equação -16x²2 + 9y² - 160x - 54y - 885 = 0; seus elementos e faça um esboço de seu gráfico.
Solução: Dada a equação -16x² + 9y² - 160x - 54y - 885 = 0; primeiro agrupamos os termos em x e os termos