Geometria analítica: a reta no plano - apostila c/ teoria e exercícios

Geometria Analítica

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CAPÍTULO 4
A Reta no Plano
4 – Estudo da reta no ℝ 2
4.1 - Condição de Alinhamento de 3 pontos no ℝ 2 Consideremos 3 pontos alinhados A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) do ℝ 2 .

ˆ Da semelhança dos triângulos retângulos ADB e BEC, temos: BÂD = CBE .

Como tg (BÂD) = tem-se : Daí : yB − y A

yB − y A

xB − x A y c − yB

ˆ = tg (CBE) =

y c − yB

x c − xB

xB − x A x c − xB (yB − yA) ⋅ (xC − xB) = (xB − xA) ⋅ (yC − yB)

=

Desenvolvendo e simplificando, tem-se: xA yB + xB yC + xC yA − xA yC − xB yA − xC yB = 0 ou

xA xB xC yA 1 yB 1 = 0 yC 1

Como os passos usados na dedução foram de ida e volta (⇔), podemos afirmar que: A condição necessária e suficiente para que 3 pontos A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) do xA yA 1 2 ℝ estejam alinhados é que seja nulo o determinante xB y B 1 . xC y C 1 OBS: Este resultado é igualmente válido nos casos em que os pontos A, B e C pertencem a uma reta paralela a um dos eixos coordenados. 4.2 - Equação geral da reta no ℝ 2
Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira

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Uma reta r do plano cartesiano possui equação da forma a x + b y + c = 0, onde a, b, c∈ ℝ com a e b não simultaneamente nulos (ou seja: a2 + b2 ≠ 0). Esta equação a x + b y + c = 0 é chamada equação geral da reta. Com efeito, consideremos sobre r dois pontos distintos A=(xA, yA), B=(xB, yB) e um ponto genérico P=(x, y).

Como P, A e B estão alinhados, temos: xA xB xC yA 1 yB 1 = 0 yC 1

Desenvolvendo o determinante, obtemos: x yA + xA yB + y xB − xB yA − xA y − x yB = 0 ou (yA − yB) x + (xB − xA) y + (xA yB − xB yA) = 0 Fazendo: yA − yB = a , xB − xA = b, e xA yB − xB yA = c na última equação, obtemos:

ax+by+c=0 Casos Particulares
Como a e b não podem ser simultaneamente nulos, os possíveis casos particulares são: 1) a = 0 e b ≠ 0 (yA = yB e xA ≠ xB) c A equação fica da forma b y = − c ou y = − b = constante = yA = yB Trata-se de uma reta paralela ao eixo