O plano

contidos um plano (π). Seja X um ponto qualquer do plano. Assim, os vetores {v1, v2 , AX} são LD (coplanares). Logo existem escalares t1 e t2 ∈ ℜ tais que AX = v1t1 + v2t2 . v1t 1 v1 A X (π) AX v2 v2 t 2 Da expressão AX = v1t1 + v2t2 podemos escrever que X − A = v1t1 + v2t2 . Então a equação X = A + v 1 t1 + v 2 t 2 , chamada de equação vetorial do plano (π) para t1 e t2 ∈ ℜ , chamados de parâmetros. O plano é constituído de pontos. Assim, para cada valor real de t1 e t 2 substituídos na equação vetorial vamos obtendo os infinitos pontos X desde plano. Por exemplo. Considere o plano (π) : X = (2,1,2) + t1 (1,1,0) + t 2 (−1,3,1) , então: para t 1 = 0 e t 2 = 0 ⇒ X = (2,1,2) + 0 ⋅ (1,1,0) + 0 ⋅ (−1,3,1) ⇒ X1 = (2,1,2) ∈ (π) ; para t 1 = 1 e t 2 = −1 ⇒ X = (2,1,2) + 1 ⋅ (1,1,0) + (−1) ⋅ (−1,3,1) ⇒ X 2 = (4,−1,1) ∈ (π) ; para t1 = −1 e t 2 = 2 ⇒ X = (2,1,2) + (−1) ⋅ (1,1,0) + 2 ⋅ (−1,3,1) ⇒ X 3 = (−1,6,4) ∈ (π) ; Assim por diante. Um axioma importante da geometria é aquele que diz "três pontos não colineares determinam um único plano". Assim, é possível escrever a equação vetorial de um plano dados três pontos não alinhados (não colineares) deste plano. Note que, pela definição anterior, para determinarmos um plano é necessário conhecermos um ponto e dois vetores LI (não paralelos) deste plano. B A C X (π) 61 Portanto, dados três pontos não colineares A, B e C de um plano (π) podemos escrever (π) : X = A + AB ⋅ t1 + AC ⋅ t 2 . A…

matemática que através de processos particulares estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Assim, formas, figuras podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos. Plano cartesiano Ortogonal A geometria analítica tem como base de seus estudos o plano cartesiano. 1 16/10/2011 PLANO CARTESIANO Ponto É representado por um par ordenado, ou seja, um par de elementos onde ordem é importante. DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS Consideremos dois pontos A…

determiná-lo, basta resolver o sistema formado por essas equações. ou Portanto: x – 2y = 1 3 – 2y = 1 -2y = 1 – 3 -2y = -2 y = 1 As coordenadas do ponto comum a r e s são P (3, 1). Equação reduzida da reta A partir da equação geral da reta dada por ax + by + c = 0 podemos determinar a equação reduzida da reta, isolando o valor de y em função de x. A saber: ax + by + c = 0 …

inteiras da equação 7x + 15y = 1. No segundo caso é claro que qualquer quantia que se consiga pagar é necessariamente múltipla de 6, porque 12 e 30 são múltiplos de 6. Por outro lado podemos pagar 6 escudos usando uma moeda de 30 e recebendo de troco duas moedas de 12. Deste modo podemos fazer o pagamento de qualquer quantia que seja múltipla de 6. Chegamos assim à seguinte definição. Definição 2.2 Uma equação nas variáveis inteiras x, y do tipo ax + by = c, diz-se uma equação diofantina.…

reta Considere a reta ax + by + c = 0 e o ponto P(x0; y0), que não pertence à reta. A distância do ponto P à reta r será: Ângulo entre duas retas Determinação do ângulo entre duas retas Considere as retas concorrentes r e s (não verticais) no plano cartesiano, com declividades mr e ms, respectivamente: Para identificar os ângulos, entre as retas r e s, podemos usar a nomenclatura: - ângulo de s para r (sentido anti-horário) - ângulo de r para s…

dia-a-dia. De acordo com a definição matemática: “Uma é o conjunto de pontos E , cujas coordenadas cartesianas, verificam uma equação do 2.º grau a, no máximo, três variáveis. Esferas, parabolóides, elipsóides, hiperbolóides, cilindros (do 2.º grau) e cones (do 2.º grau) constituem as mais conhecidas superfície quádricas.”(VENTURI, 2003) A equação do segundo grau a qual o autor se refere é do tipo: ax² + by² + cz² + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0, que, caso j seja igual a…

INTRODUÇÃO A Geometria Analítica é um elemento que compõe a Matemática, que através de processos reservadas, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a geometria, por exemplo, permite compreender as soluções de um sistema linear de duas incógnitas por meio de retas em um plano, ou, então, representar por meio de uma equação de uma figura bidimensional ou tridimensional desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de…

RETA 2 - Equação geral da reta. Seja r a reta que passa pelos pontos A(xa , ya) e B(xb , yb). Seja P(x , y) um ponto qualquer desta reta . Pela condição de alinhamento de 3 pontos , podemos escrever: Desenvolvendo o determinante acima obtemos: (Ya - Yb) . x + (Xa - Xb) . y + (XaYb - XbYa) = 0 . Fazendo Ya - Yb = a , Xa - Xb = b e XaYb - XbYa = c , decorre que todo ponto P(x,y) pertencente à reta , deve verificar a equação : ax + by + c = 0 que é chamada equação geral da reta r .…

1- INTRODUÇÃO p.4 2-TEORIA DOS NUMEROS/ EQUAÇÃO DIOFANTINA p.5 3- CONCLUSÃO _______________ p.11 4. BIBLIOGRAFIA______________ p.12 1-INTRODUÇÃO Na Grécia nasceram muitos matemáticos brilhantes, entre eles Diofante de Alexandria, sabe-se muito pouco deste grego, que viveu cerca de 84 anos, segundo informações dos livros de História da Matemática. Diofante foi…

AULA: Superfícies Quádricas Definição 1: Uma equação geral do 20 grau em três variáveis é uma equação do tipo: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 (I), com pelo menos uma das constantes A, B, C, D, E ou F é diferente de zero. Definição 2: Uma superfície cuja equação é do tipo (I) é chamada de superfície quádrica. Obs: A interseção de uma superfície quádrica com um dos planos coordenados ou por planos paralelos a eles é uma cônica. Em casos…