O plano

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 6 PLANO

Definição: Seja A um ponto e v1 e v2 dois vetores LI (não paralelos), todos contidos um plano (π). Seja X um ponto qualquer do plano. Assim, os vetores {v1, v2 , AX} são LD (coplanares). Logo existem escalares t1 e t2 ∈ ℜ tais que AX = v1t1 + v2t2 .

v1t 1 v1
A

X

(π)

AX v2 v2 t 2

Da expressão AX = v1t1 + v2t2 podemos escrever que X − A = v1t1 + v2t2 . Então a equação X = A + v 1 t1 + v 2 t 2 , chamada de equação vetorial do plano (π) para

t1 e t2 ∈ ℜ , chamados de parâmetros.
O plano é constituído de pontos. Assim, para cada valor real de t1 e t 2 substituídos na equação vetorial vamos obtendo os infinitos pontos X desde plano. Por exemplo. Considere o plano (π) : X = (2,1,2) + t1 (1,1,0) + t 2 (−1,3,1) , então: para t 1 = 0 e t 2 = 0 ⇒ X = (2,1,2) + 0 ⋅ (1,1,0) + 0 ⋅ (−1,3,1) ⇒ X1 = (2,1,2) ∈ (π) ; para t 1 = 1 e t 2 = −1 ⇒ X = (2,1,2) + 1 ⋅ (1,1,0) + (−1) ⋅ (−1,3,1) ⇒ X 2 = (4,−1,1) ∈ (π) ; para t1 = −1 e t 2 = 2 ⇒ X = (2,1,2) + (−1) ⋅ (1,1,0) + 2 ⋅ (−1,3,1) ⇒ X 3 = (−1,6,4) ∈ (π) ; Assim por diante.

Um axioma importante da geometria é aquele que diz "três pontos não colineares determinam um único plano". Assim, é possível escrever a equação vetorial de um plano dados três pontos não alinhados (não colineares) deste plano. Note que, pela definição anterior, para determinarmos um plano é necessário conhecermos um ponto e dois vetores LI (não paralelos) deste plano.
B A C

X

(π)

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Portanto, dados três pontos não colineares A, B e C de um plano (π) podemos escrever (π) : X = A + AB ⋅ t1 + AC ⋅ t 2 . A escolha do ponto e da orientação dos vetores não altera a determinação do plano, ou seja, poderíamos ter escolhido o ponto C e os vetores BC e CA para determinarmos o mesmo plano

(π) da seguinte forma

(π) : X = C + BC ⋅ t1 + CA ⋅ t2 .

6.1 Equações do Plano Equações Paramétricas Seja X(x, y, z) um ponto qualquer do plano (π). Sejam também e conhecidos o ponto