Quadricas

AULA: Superfícies Quádricas
Definição 1: Uma equação geral do 20 grau em três variáveis é uma equação do tipo:
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

(I),

com pelo menos uma das constantes A, B, C, D, E ou F é diferente de zero.

Definição 2: Uma superfície cuja equação é do tipo (I) é chamada de superfície quádrica.
Obs: A interseção de uma superfície quádrica com um dos planos coordenados ou por planos paralelos a eles é uma cônica. Em casos particulares, a interseção pode ser uma reta, duas retas, um ponto ou o conjunto vazio. Esses casos constituem as cônicas degeneradas.
Através de uma rotação e/ou translação de eixos a equação (I) pode assumir uma das seguintes formas:
(II)

Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D

 Ax 2 + By 2 = Cz


( III ) Ax 2 + Bz 2 = Cy
 2
2
 Ay + Bz = Cx


(quádricas cêntricas)

(quádricas não cêntricas)

Quádricas Cêntricas: Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D

Se as constantes A, B, C e D são não nulas, podemos escrever a equação (II) na x2 y2 z2
±
±
= 1 (IV), com a,b e c números reais positivos. forma canônica: ± a2 b2 c2
Se todos os sinais são negativos então o lugar geométrico da equação é vazio. Logo, existem três possibilidades: todos os sinais são positivos, dois sinais positivos e um negativo ou um positivo e dois negativos.
A) Todos os sinais positivos: Elipsóide:

x2 a2 +

y2 b2 +

z2 c2 =1

Características:
1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem.

1

2) Se duas das constantes a, b e c são iguais temos um elipsóide de revolução.
3) Interseções com os eixos coordenados:
Eixo Ox : A (± a,0,0 )
Eixo Oy: B (0,±b,0)
Eixo Oz: C (0,0,± c )

4) Traços sobre os planos coordenados: elipses
 x2
 2 +
a
z = 0


 x2 z2
 y2 z2
=1
 2 + 2 =1  2 + 2 =1
, a
, b b2 c c y = 0
x = 0

 y2 5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

 x2
 2+
a
z =