Retas e Planos

Retas e Planos Equa¸˜es de Retas co Equa¸˜o Param´trica da Reta no Espa¸o ca e c Considere o espa¸o ambiente como o espa¸o tridimensional. Um vetor v = (a, b, c) determina uma dire¸˜o c c ca no espa¸o. Dado um ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ), existe uma unica reta r paralela ao vetor v passando pelo ponto c ´ P0 . P P0 r v Gostar´ ıamos de encontrar a equa¸˜o desta reta. Um ponto P = (x, y, z) pertence a esta reta se e somente ca −→ − −→ − se o vetor P0 P ´ paralelo a v, ou seja, se e somente se P0 P ´ m´ltiplo escalar de v, isto ´, e e u e −→ − P0 P = tv −→ − para algum escalar t ∈ R. As coordenadas do vetor P0 P s˜o dadas por a −→ − − − → −→ − P0 P = OP − OP0 = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ). Portanto, P pertence a esta reta se e somente se (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = (ta, tb, tc), ou seja, se e somente se   x = y =  z = x0 + ta y0 + tb z0 + tc 1 −→ − Assim, qualquer ponto P de coordenadas (x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) = OP0 + tv pertence ` reta dada. Esta a equa¸˜o ´ chamada uma equa¸˜o param´trica da reta r e v ´ chamado um vetor dire¸˜o da reta. ca e ca e e ca Observa¸˜o: O parˆmetro t pode ser imaginado como representando o tempo; neste caso o vetor dire¸˜o ca a ca representa a velocidade com que um ponto percorre esta reta. Exemplo 1. A reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, −2) e ´ paralela ao vetor v = (−5, 8, 3) tem equa¸˜o e ca param´trica e   x = 1 − 5t y = 8t  z = −2 + 3t

Retas e Planos Universidade Federal da Bahia Departamento de Matemática 2000 Introdução Este texto é uma versão revisada e atualizada do texto " Retas e Planos" de autoria das professoras Ana Maria Santos Costa, Heliacy Coelho Souza e Maria Christina Fernandes Cardoso. Esta versão, do mesmo modo que a primeira, é um recurso didático utilizado na Disciplina Matemática Básica II Mat. 002 do Departamento de Matemática da UFBA. Esperamos contar com o auxílio dos leitores…

Retas e Planos Ana Cristina Silva Matos Orientações para atividade em dupla da segunda unidade. Vocês devem estudar os conteúdos abaixo e trazer resolvidos os exercícios da lista 2 (planos) e os exercícios desse material no dia da avaliação em dupla. Assuntos que serão cobrados: Equações: Vetorial, Paramétricas e Geral. Posições relativas entre dois planos concorrentes; Posições relativas entre retas e plano. – Paralelos, coincidentes e…

primitivos, como ponto, reta e plano, não tem definição, mas podemos representá-los graficamente: a) Ponto b) Reta c) Plano Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos. A notação usada por Hilbert (1862-1943), e normalmente adotada por nós, é a seguinte:  Os pontos são indicados por letras maiúsculas (A, B, C etc.).  As retas são indicadas por letras minúsculas (r, s, t etc.).  Os planos são indicados por letras gregas ( etc.). Postulado 1 : : Dois pontos…

CAPÍTULO IV - POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO E DE DUAS RETAS 4.1 Posições relativas de uma reta e um plano r As posições de uma reta r : X = R + t v r , t ∈ IR e um plano π são: r vr R a) r paralela a π (r // π ) r r nπ π rr r // π ⇔ v r ⋅ n π = 0 e R ∉ π r nπ R r vr r b) r contida em π (r ⊂ π ) π rr r ⊂ π ⇔ vr ⋅ n π = 0 e R ∈ π c) r e π concorrentes r nπ r vr P (r ∩ π = {P} ) π rr r ∩ π = {P} ⇔ v r ⋅ n π ≠ 0…

Curso de Engenharia Civil Física Experimental II - NA Micrometro Guarulhos 2014 1. Micrometro O experimento foi realizado na data de 29 de Abril de 2014 sob orientação do Professor Rafael Suller Garcia. 2. Objetivos do Experimento O experimento com o micrometro tem como objetivo o ensino do manuseamento desse instrumento, para que o grupo de alunos saiba não somente como utilizá-lo, mas também no aprimoramento do conhecimento das unidades de medidas…

Produtos Notáveis (a + b) . (a + b) = (a + b)2 Quadrado da soma (a – b) . (a – b) = (a – b)2 Quadrado da diferença (a + b) . (a – b) Produto da soma pela diferença (x + p) . (x + q) Produto do tipo (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3 Cubo da soma (a – b) . (a – b) . (a – b) = (a – b)3 Cubo da diferença Fatoração 8x³ - 2x² + 6x (fator comum: 2x) 2x (4x² - x + 3) Ou a6 – 4a² (fator comum: a²) a² (a4 – 4) …

A Equação Paramétrica da Reta no Espaço Considere um vetor no espaço. Este vetor determina uma direção no espaço, o que significa que existem infinitas retas paralelas no espaço que têm a mesma direção deste vetor. No entanto, dado um ponto no espaço, existe uma única reta passando por este ponto e que tem a mesma direção deste vetor. Queremos obter uma equação para representar a reta r cuja direção é dada pelo vetor v=(a,b,c) (chamado, por este motivo, o vetor direção da reta) e que…

– Profª Luciane Mulazani dos Santos PLANOS E RETAS - 12/09/2012 PLANO 1) Determine a equação geral do plano  que: a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor =(2,–3,1); b) passa pelo ponto A(1,2,1) e é paralelo aos vetores e ; c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2); d) passa pelos pontos P(2,1,0),Q(1,4,2) e R(0,2,2); e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(3,1,3) e C(4,2,3); f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores =(2,–1,1) e =(…

RETAS PRINCIPAIS DE UM PLANO São as retas do plano que são paralelas a um dos planos de projeção. Retas horizontais – são as retas paralelas ao traço horizontal do plano; Retas frontais – são as retas paralelas ao traço vertical do plano. RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E MÁXIMA INCLINAÇÃO Denomina-se reta de máximo declive aquela reta que, pertencendo a um plano, forma o maior ângulo possível com outro plano. Exemplificando, na fig. 54, observamos dois planos oblíquos (α e β), de…