Equação da reta no plano

A Equação Paramétrica da Reta no Espaço
Considere um vetor no espaço. Este vetor determina uma direção no espaço, o que significa que existem infinitas retas paralelas no espaço que têm a mesma direção deste vetor. No entanto, dado um ponto no espaço, existe uma única reta passando por este ponto e que tem a mesma direção deste vetor.

Queremos obter uma equação para representar a reta r cuja direção é dada pelo vetor v=(a,b,c) (chamado, por este motivo, o vetor direção da reta) e que passa pelo ponto . Para isso, observe que um ponto P= (x.y.z) pertence à reta se, e somente se, o vetor é paralelo ao vetor v . Em outras palavras, P pertence a r se e somente se existe um escalar t tal que

As coordenadas do vetor são

Portanto, o ponto P pertence a r se e somente se

ou seja, se e somente se,

Esta é a equação paramétrica da reta r, sendo t o parâmetro .
Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta r que contem o ponto A(3,­1,2) e é paralela ao vetor v=(­3,­2,­1).

Equação da reta no Plano

As equações na forma ax + by + c = 0 são expressões representativas de retas do plano. Os coeficientes a, b e c são números reais constantes, considerando a e b valores diferentes de zero. A essa representação matemática damos o nome de equação geral da reta.
Podemos construir a equação geral da reta utilizando duas maneiras:
1ª – através da determinação do coeficiente angular da reta e utilização de uma forma geral dada por: y – y1 = m (x – x1).
2ª – através de uma matriz quadrada formada pelos pontos pertencentes à reta fornecida.

1ª forma : Vamos determinar a equação da reta s que passa pelos pontos A(–1, 6) e B(2, –3).

Coeficiente angular da reta m = (y2 – y1) / (x2 – x1) m = –3 – 6 / 2 – (–1) m = –9 / 3 m = –3 y – y1 = m (x – x1). y – 6 = –3 (x + 1) y – 6 = –3x – 3 y – 6 + 3x + 3 = 0 y + 3x – 3 = 0
3x + y – 3 = 0

2ª forma : Vamos considerar o ponto genérico P(x, y), pertencente à reta s que passa pelos pontos A(–1, 6) e