Lista de exerc cios de Geometria Anal tica

Determinar os pontos da reta r: , que têm (a) abscissa 5; (b) ordenada 4; (c) cota 1. 5) P(2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Calcular o ponto P. 6) Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A(4, 0, -3) e tem a direção do vetor . 7) Estabelecer as equações reduzidas, variável independente x, da reta determinada pelos pares de pontos: a) A(1, -2, 3) e B(3, -1, -1); b) A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3). 8) Determinar as equações reduzida, com variável independente z, da reta que passa pelos pontos A(-1, 0, 3) e B(1, 2, 7). 9) Mostrar que os pontos A(-1, 4, -3), B(2, 1, 3) e C(4, -1, 7) são colineares. 10) Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(1, 1, -1) e C(-2, 10, -4) pertençam à mesma reta? 11) Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas: a) b) c) d) e) f) 12) Determinar as equações das seguintes retas: a) Reta que passa por A(1, -2, 4) e é paralela ao eixo dos x. b) Reta que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicular ao plano xOz. c) Reta que passa por A(2, 3, 4) e é ortogonal ao eixo dos x e dos y. d) Reta que passa por A(4, -1, 2) e tem a direção do vetor . e) Reta que passa pelos pontos M(2, -3, 4) e N(2, -1, 3). 13) Representar graficamente as retas cujas equações são: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 14) Determinar o ângulo entre as seguintes retas: a) . b) c) d) 15) Determinar o valor de n para que seja de 30º o ângulo…

sistema de equações é chamado sistemas de equações paramétricas da reta r, ou sistemas de reta r na forma paramétrica. Sejam (0,i,j,k) um sistema de coordenadas, P(x,y,z) e A(x1, y1 ,z1) um ponto genérico e um ponto dado, respectivamente, da reta r, e v = ai + bj + ck um ventor de mesma direção de r. Da equação vetorial da reta r: P=A + tv, ou: (x,y,z) = (x1y2z3) + t (a, b, c) vem: x=x1 + at y=y1 + bt z=z1 = ct As equações nas quais a, b e c não são todos nulos (v = 0), são…

Retas Equações de uma reta Equação geral Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever: Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos: ax + by + c = 0 (equação geral da reta r) Essa equação…

• Geometria Analítica - Paralelismo Duas retas paralelas formam com o eixo das abscissas ângulos congruentes; assim, se ambas possuem coeficientes angulares, estes são iguais. Observe a figura, que mostra duas retas, não verticais. No caso de r1 e r2 serem verticais, evidentemente r1 // r2 , embora não existam m1 e m2 . Veja a figura: Exemplo: Para determinar a posição relativa entre as retas r e s, de equações r: y=3x-2 e s: 6x-2y+5=0, basta…

da pergunta r: x-3/2 = y+1/-1 = z/-2 da eq. simétrica consegue-se as equações paramétricas, assim. (x - 3)/2 = t ==> 2t = x - 3 ==> x = 3 + 2t (y + 1)/-1 = t ==> -t = y + 1 ==> y = -1 - t z/-2 = t ==> z = -2t x = 3 + 2t y = -1 - t z = -2t então: para x = 5 3 + 2t = 5 ==> t = 1 teremos y = -2t = -2*1 = -2 e z = -2t = -2*1 = -2 a) (5, -2, -2) ............................... para y = 4 -1 - t = 4 ==> t = -5 teremos …

caso, as abscissas são iguais: xA = xB = xC e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais. c) três pontos numa reta não-paralela aos eixos [pic] Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então: [pic] Desenvolvendo, vem: [pic] Como: [pic] então [pic]. Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou seja, se [pic], então os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, yC) estão alinhados. | Retas …

valores possíveis para o coeficiente angular m, obtemos as equações de todas as retas que passam pelo centro C, com exceção da reta vertical. A reta vertical do feixe, passando por C(x0; y0), tem a equação: x = x0. Logo, a equação do feixe de retas de centro C(x0; y0) será: y – y0 = m(x – x0), com m ∈ R ou x = x Outras formas de equação da reta Equação reduzida Considere a reta r, não vertical (b ≠ 0), na qual a equação geral é: ax + by + c = 0. Logo: Se é o…

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ / CAMPUS CAMPO MOURÃO FECILCAM Apostila 1 – Tópicos de Matemática Básica Disciplina: Matemática Aplicada à Administração Carga horária: 72h/a Profa. Dra. Solange Regina dos Santos Campo Mourão – 2015 2 TÓPICOS DE MATEMÁTICA BÁSICA 1 Conjuntos 2 Expressões Algébricas 3 Estudo do sinal de uma expressão 4 Inequações do 1º grau 5 Equações do 2º grau 6 Inequações do 2º grau 7 Sistemas de equações do 1º grau 8 Logaritmos 1 CONJUNTOS 1.1 Conjunto dos Números…

Construções geométricas com régua e compasso; números reais; reta real; teorema de Tales; teorema de Pitágoras; relações métricas no triangulo retângulo estabelecer classificações dos números reais de acordo com critérios pré-estabelecidos; investigar a localização de números racionais e irracionais na reta real por meio da utilização de régua sem escala e compasso; argumentar proposições e raciocinar de forma indutiva e dedutiva para resolver problemas geométricos…

GEOMETRIA ANALÍTICA A Geometria Analítica foi criada por René Descartes (1596 – 1650), no intuito de relacionar a álgebra com a Geometria, possibilitando um estudo mais aprofundado de objetos geométricos. Com o auxílio da Geometria Analítica (GA) podemos, através de métodos algébricos, estudar as propriedades do ponto, da reta e de figuras. No estudo da GA trabalharemos constantemente com o Plano Cartesiano. Distância entre dois pontos Observe os pontos A e B no plano cartesiano,…