Material Distribui O Normal 1

1

Distribuição Normal
P(X = x), onde X é uma variável aleatória continua cuja distribuição é normal , então a função densidade de probabilidade é dada pela expressão:
1  X  

 

 .
1
f ( x) 
.e 2 
 . 2.

2

, para    x  

a. O ponto de máximo de f(x) é o ponto X = μ
b. Os pontos de inflexão da função ocorrem em X = μ - σ e X = μ + σ
c. A curva é simétrica em relação a μ


1  X  

 

 .
1
.e 2 
d. 
 . 2.

2

.dx  1

b

1  X  

 

 .
1
A  P ( a  X  b)  
.e 2  a  . 2.

2

.dx

A μ a

b

X

Pela dificuldade de calcular a integral definida , admitimos que :
X 
Z 
 , onde Z é chamada de variável normal reduzida
  

X: N (μ;σ2)  Z : 0,1 , portanto a função de densidade de probabilidade de Z é:
1
 .  Z 2
1
f ( z) 
.e 2 , para    z   , logo
2.

temos:

A vantagem de se usar a variável reduzida Z   X    é que podemos tabelar os valores da área , ou as
   probabilidades , pois para cada X dado , área depende de  Z  0 e  2  1 . Como  e  2 uma tabela de Z é suficiente .

2

A1 = A2

P((    )  X   )  P(   X  (    ))
P((    )  X  (    ))  P((    )  X   )  P(   X  (    ))

A1

 

A2

 

μ

X

A1 = A2

P( 1  Z  0) = P(0  Z  1)
P(1  Z  1)  P( 1  Z  0) + P(0  Z  1)

A1

-1

A2

0

1

Z

A1 ≠ A2
A1
A2

 

P( X 1  X  X 2 ) = P ( X 1  X   )  P (   X  X 2 )

A1

A2

μ

X1

X2

X

A1 ≠ A2
A1

Z1

A1
A2



 


P( Z1  Z  Z 2 )  P( Z1  Z  0)  P(0  Z  Z 2 )

A2

0

Z2

Z

3

A  P( X 1  X  X 2 )  P(   X  X 2 )  P(   X  X 1 )

A μ X1

X2

X

A  P( Z1  Z  Z 2 )  P(0  Z  Z 2 )  P(0  Z  Z1 )

A

0

A  P( Z1  Z  Z 2 ) 

Z2



Z1

Z1 

X1  



e

Z2 

Z1

Z2

Z
1

 .  Z 2
1
.e 2 .dz
2.

X2  



1  X  

 

b

 .
1
A  P ( a  X  b)  
.e 2  a  . 2.

A

μ

a

b

X

b

1

 .Z 2
1
A  P ( a  Z  b)  
.e 2 .dz a  . 2.

A

0

Z1

Z2

Z

2

.dx

4
Os