Determinantes

Determinante

1. Definição * Matriz de ordem 1x1
Para uma matriz escalar (1 linha e 1 coluna), definimos: det A = a11 * Matriz de ordem 2x2
Para uma matriz quadrada A de ordem 2, definimos o determinante de A como: det A = a11a22 – a21a12 * Matriz de ordem 3x3
Para uma matriz quadrada de ordem 3, definimos o determinante de A como: det A = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 – a11a23a32 – a13a22a31 – a12a21a33
2. Cálculo de Determinante: * Matriz de ordem 2x2 É dado pelo produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo: A = 3 1 4 2 det A = (3 x 2) - (4 x 1) det A = 6 - 4 det A= 2 * Matriz de ordem 3x3 Repetem-se as duas primeiras colunas após a última, e procede-se da mesma forma que a matriz de ordem 2x2.
Exemplo: A = 3 4 -2 0 -1 0 2 1 1 A = 3 4 -2 3 4 0 -1 0 0 -1 2 1 1 2 1 det A = [(3x-1x1) + (4x0x2) + (-2x0x1)] – [(-2x-1x2) + (3x0x1) + (4x0x1)] det A = -3 – 4 det A = -7

3. Principais Propriedades sobre Determinantes
1º - Se uma matriz A possui uma linha na coluna com todos os elementos nulos, então seu determinante é nulo.
Exemplo: Se A = 0 0 , então det A = 0 3 2
2º - Se os elementos de duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz A são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo: Se A = 1 3 , então det A = (1x15) – (3x5) = 15 – 15 = 0. 5 15
3º - Se os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz A resultarem na combinação linear da soma dos elementos das outras duas linhas (ou coluna), então seu determinante é nulo.
Exemplo: Se A = 1 3 -2 1 3 , det A = [(1x-1x-2) + (3x0x5) + (-2x4x2)] 4 -1 0 4 -1 – [(-2x-1x5) + (1x0x2) + (3x4x-2)] 5 2 -2 5 2 det A = -14