Determinantes

PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.
P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( At ).
P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo. Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.
P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.
P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer.
P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) .

Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ; logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A).

Notas:

1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .

2) se det A  0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .

P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k  R então det(k.A) = kn . det A

Exemplos:

1) Qual o determinante associado à matriz?

Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.
2) Calcule o determinante: