Determinantes

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POR MEIO DE DETERMINANTES
Determinante de uma matriz de segunda ordem
Seja a matriz: a b c d

M =

O determinante desta matriz é: a b
= ad − bc c d

∆=

Exemplo:
3 2
1 4

M =

∆=

3 2
= 3 × 4 − 2 × 1 = 10
1 4

Vamos supor o sistema de duas equações com duas incógnitas x e y: ax + by = e cx + dy = f

Este sistema de equações pode ser escrito na forma matricial: a b

x

c

d

y

=

e f Esta equação gera três matrizes:
1a. Matriz formada pelos coeficientes das incógnitas, ou seja:
M =

a

b

c

d

Seu determinante é:

1

∆ = ad − bc

2a. Matriz em que se modifica a matriz M, substituindo-se a primeira coluna pela coluna de resultados das equações:

MX =

e

b

f

d

Seu determinante é:
∆x = ed − bf
3 . Matriz em que se modifica a matriz M, substituindo-se a segunda coluna pela coluna de resultados das equações: a MY =

a

e

c

f

Seu determinante é:
∆y = af − ce
A teoria dos determinantes demonstra que:

x=

∆x
∆

e

y=

∆y
∆

Ou seja:

x=

e

b

f a d b y=

e

a

e

b a f b c d c d
------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 1
Resolver o sistema de equação:

2x + y = 7 x + 3 y = 11
M =

2 1
1 3

MX =

7

1

11 3

MY =

2

2

7

1 11

∆ = 2 × 3 − 1× 1 = 5 x= ∆x = 7 × 3 − 1 × 11 = 10

∆x 10
=
=2
∆
5

y=

∆y = 2 × 11 − 7 × 1 = 15

∆y 15
=
=3
∆
5

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Generalização
Seja o sistema de n equações com n incógnitas: x1 ,

x 2 , ............ x n

a11 x1 + a12 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a 2 n x n = b2
....................................................
....................................................
....................................................
an1 x1 + an 2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ann xn = bn
Este sistema pode ser escrito na forma matricial:

a11 a 21
⋅
⋅ a n1

a12 a 22
⋅
⋅ an2 ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅

⋅ a1n x1 b1
⋅ a 2n x2 b2
⋅ ⋅ × ⋅ = ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅ a nn
xn