derivada das funções

Introdução

A derivada de uma função é utilizada para diversos propósitos, onde iremos abordar alguns assuntos neste trabalho, porém é impossível desenvolver as aplicações que podem ser atribuídas às derivadas e os limites, alguns recursos podem ser criados a partir das suas definições, bastando para isto, a originalidade de cada idéia a se manifestar. Neste trabalho iremos fazer uma abordagem das definições de derivadas, demonstrando suas aplicações, em varias partes dos campos passiveis de sua aplicação.

Derivada de uma função composta ( Regra da Cadeia)

Seja f: A -> B uma função dada pela lei y = f(x). Seja g: B -> C uma função dada pela lei z = g(y). Existe a função composta F: A -> C dada pela lei z = F(x) = g( f(x)).
Supondo que f seja derivável no ponto x e g seja derivável no ponto y tal que y = f(x), provemos que F também é derivável em x e sua derivada é F’(x) = g’(y) . f’(x).
Temos inicialmente:

Notemos que, se ∆x tende a zero, então ∆y também tende a zero, pois a função y = ƒ(x) é derivável e, portanto, contínua no ponto x. Assim, para valores próximos de x (∆x -> 0) a função ƒ assume valores próximos de y = ƒ(x) (∆y -> 0).
Então, temos:

Como z = g(y) e y = ƒ(x) são deriváveis, e são ambos finitos; portanto, também. Assim, z = F(x) é derivável e sua derivada é: F’(x) = g’(y) . f’(x)
Em resumo: F(x) = g(f(x)) ==> F’(x) = g’(f(x)) . f’(x)

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Exemplos

1º) Derivar F(x) = cos 2x. Fazendo y = f(x) = 2x e z = g(y) = cos y, temos: y’ = f’ (x) = 2 e z’ = g’(y) = - sen y; portanto, vem: F’(x) = g’(y) . f’(x) = (-sen y) . 2 = -2 . sen 2x

2º) Derivar F(x) = x. Fazendo y = f(x) = sen x e z = g(y) = , temos: y’ = f’(x) = cos x e z’ = g’(y)