VETORES EM R2 E R3

VETORES E R3 “Ultra-Fast” Prof.: Oscar Pimentel Obs.: A maioria das figuras deste texto foram copiadas do livro virtual “álgebra vetorial e geometria analítica”, 9ª edição, do professor Jacir Venturi, e aqui foram usadas puramente com fins didáticos e não-comerciais. Para maiores informações e download gratuito do livro, www.geometriaanalitica.com.br 1 – O ESPAÇO R3 A geometria analítica no R3 tem por finalidade estudar o espaço tridimensional, tomando por base uma trinca de eixos coordenados x, y, z (também chamados de, respectivamente, eixo das abscissas, das ordenadas e das cotas). Ao estudar geometria analítica no R2 (plano), a convenção usual adotada para desenhar o par de eixos era usar retas perpendiculares tal que o eixo x ficasse com direção horizontal e sentido positivo para a direita e o eixo y ficasse com direção vertical e sentido positivo para cima, formando quatro quadrantes. Na verdade, pode-se atribuir sentido positivo para os eixos x e y de um par de retas perpendiculares de qualquer maneira que se desejar, desde que o par de eixos forme um SISTEMA DIRETO. Um sistema direto no R2 é tal que, ao se usar a “regra da mão direita”, o “arraste dos dedos” vai do sentido positivo do eixo x para o sentido positivo do eixo y. Da mesma forma, no R3, pode-se atribuir os sentidos dos eixos de qualquer forma, desde que seja obedecida a condição do sistema direto. Para o caso do R3, a regra da mão…

Multiplicação de um vetor por um nº real. Propriedade do produto de um vetor por um escalar. Adição de dois vetores. Propriedades da adição de vetores. Subtração de dois vetores. Unidade I – Espaços vetoriais. 1.11.21.31.41.51.61.7- Definição. Subespaços vetoriais. Combinação linear. Subespaço Gerado. Dependência e independência linear. Base de um espaço vetorial. Dimensão de um espaço vetorial. Unidade II – Transformações lineares. 2.12.22.32.42.52.6- Definição. …

ÁLGEBRA LINEAR VETORES EM R2 Prof. Cássio R C Moreira Jr. cassio.junior@aedu.com VETORES EM R2 y O(0, 0) x Prof. Cássio R C Moreira Jr. cassio.junior@aedu.com VETORES EM R2 O(0, 0) Prof. Cássio R C Moreira Jr. cassio.junior@aedu.com VETORES EM R2 Prof. Cássio R C Moreira Jr. cassio.junior@aedu.com VETORES EM R2 Prof. Cássio R C Moreira Jr. cassio.junior@aedu.com VETORES EM R2 Prof. Cássio R C Moreira Jr. cassio.junior@aedu.com…

que transformam vetores em vetores. Em geral, se V e W são EV, uma função ou transformação T de V para W, é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor y em W que é denotado por T(x). Se x é um vetor em V, então T(x) é chamado “imagem de x” sobre a transformação T. Ex.: 1. Se T é uma transformação do R3 para R2 definida pela equação: T(x1, x2, x3) = ( x1+x2, x2+x3) T: R3  R2 Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor (2,2) Ou seja, T(1,1,1) = (2,2) O vetor (3,2,0) no…

Coordenadas. 1º) Determine as coordenadas do vetor v de R2 em relação à base B = { (1,2), (2,3) } sendo: a) v = (4,-3) b) v = (a, b) 2º) Determine as coordenadas do vetor v = (a,b,c) de R3 em relação as bases: a) B = { (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) } b) C = { (1,1,1), (1,1,0),(1,0,0) } 3º) Determine as coordenadas do vetor v = 3t3 – 4t2 + 2t – 5 de P3(t) em relação a base S = { ( t – 1)3, ( t – 1)2, t – 1, 1 }. 2 4º) Determine o vetor coordenada de A   4 1 a…

operações adição e multiplicação por escalar de R2 , é um subespaço de R2. a) b) c) d) e) f) g) {(x,y)  R2; x+y = 1} {(x,y)  R2; xy = 0} {(x,y)  R2; y=3x} {(x,y)  R2; x+3y=2} {(x,y)  R2; y=1} {(x,y)  R2; y=0} {(x,y)  R2; x=0} 10. Verifique se cada conjunto abaixo, com as operações adição e multiplicação por escalar de R3 , é um subespaço de R3. a) {(x,y,z)  R3; x+y = 0} b) {(x,y,z)  R3; x = y = z} c) {(x,y,z)  R3; y = x2+z2} d) {(x,y,z  R3 x+3y+4z=2} e) {(x,y,z)  R3;…

– FAG Vetores Vetores no Espaço Espaço vetorial Subespaço vetorial Combinação Linear Dependência e Independência Linear Base de um Espaço Vetorial Transformações Lineares Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Profª. Alessandra S. F. Misiak Cascavel – 2009 Espaço Vetorial Vetor no Plano 1 - O VETOR Considere o segmento orientado AB na figura abaixo. Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos: *…

1.2.1. Verificar 1) Verificar se F: R2  R3 tal que F(x, y) = ( x, x - y, x + y) é uma transformação Linear Solução: Devemos mostrar que: (a) F(u + v)  F(u + v) ?  u = (u1, u2) e v = (v1 , v2)  R2  F(u) + F(v) = = = = F((u1, u2) + (v1, v2)) F(u1 + v1, u2 + v2) (u1 + v1, (u1 + v1)-(u2 + v2), (u1 + v1) + (u2 + v2 ) (u1 + v1, u1 + v1 - u2 - v2 , u1 + v1 + u2 + v2 ) Iguais F(u) + F(v) = F(u1, u2) + F(v1, v2) = (u1, u1 – u2, u1 + u2) + (v1, v1 –…

Mostre que cada uma das transforma¸c˜oes de R2 em R2 a seguir s˜ao lineares e fa¸ca o gr´afico de cada uma delas. a) Proje¸ca˜o nos eixos x e y, respectivamente: Px , Py : R2 → R2 que levam todo vetor nas suas proje¸co˜es nos eixos x e y, respectivamente, ou seja: Px (x, y) = (x, 0) Py (x, y) = (0, y) b) Reflex˜ao em rela¸c˜ao aos eixos x e y: Rx , Ry : R2 → R2 tal que Rx (x, y) = (x, −y) e Ry (x, y) = (−x, y). c) Proje¸c˜ao ortogonal de todo vetor no plano numa reta que passa pela…

, isto é , S é o conjunto dos vetores do plano que tem a segunda componente como sendo igual a primeira mais seis. Verifique se S é subespaço vetorial de R². 5 ) Sejam V= R2 e S= { ( (x , y ) C R2 | y = x } ou S = { ( x , x ) | x C R } , isto é , S é o conjunto dos vetores do plano que tem a segunda componente igual a primeira. Verifique se S é subespaço vetorial de R2. 6 ) Sejam V = R2 e…