Vetor No R² E No R³

MATRIZES, VETORES E ´ GEOMETRIA ANALITICA Reginaldo J. Santos Departamento de Matem´ tica-ICEx a Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi Marco 2012 ¸ Matrizes, Vetores e Geometria Anal´tica ı Copyright c 2012 by Reginaldo de Jesus Santos (120228) ´ E proibida a reproducao desta publicacao, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pr´ via autorizacao, por ¸˜ ¸˜ e ¸˜ escrito, do autor. Editor, Coordenador de Revis˜ o, Supervisor de Producao, Capa e

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SOLUCAO: ¸˜ − → (a) Um vetor diretor da reta r pode ser AB = B − A = (8, 4, 4) = 4(2, 1, 1). Vamos considerar Vr = (2, 1, 1) o vetor diretor da reta r. Assim a equa¸˜o param´trica de r ca e pode ser escrita como P = A + tVr : (x, y, z) = (1, −1, 0) + t(2, 1, 1). Um ponto gen´rico da reta r ´ P = (1 + 2t, −1 + t, t). Ligando P ao ponto C obtemos o e e − → vetor CP = (−3 + 2t, −2 + t, 2 + t). Para determinar o ponto H, queremos que o vetor − → − → CP seja ortogonal a reta r, ou seja, CP ,…

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL 1o PERÍODO DE ENGENHARIA  2007 PROFA: MARA DE CARVALHO DE SOUSA VETORES 1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: Resp: a)V b)V c) F d) V e) V f) V g) F h)V i)F j)V k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V s)V 2) A figura a baixo representa um paralelepípedo…

Lista de exerc´ıcios -´ Algebra Linear - Espa¸cos, subespa¸cos, combina¸c˜ao linear e espa¸co gerado 1. Se V = R 2 e W = {(x, x 2 ); x ∈ R} n˜ao ´e subespa¸co de V. 2. Mostre que os seguintes subconjuntos de R 4 s˜ao subespa¸cos: (a) W = {(x, y, z, t) ∈ R 4 |x + y = 0 e z − t = 0}; (b) W = {(x, y, z, t) ∈ R 4 |2x + y − t = 0 e z = 0}; 3. Consideremos no espa¸co R 3 os vetores −→ u = (1, 2, 1), −→ v = (3, 1, −2) e −→ w = (4, 1, 0). (a) Calcular 2 −→ u + −→ v −…

descrito na aula 3 (raios paraxiais). Utilize um lápis de cor diferente daquela utilizada em a. Utilizaremos para formar a imagem o raio luminoso que incide paralelo ao eixo do 1 1 2 R + = ⇒ i = = f ) e o raio luminoso que ∞ i R 2 1 1 2 + = ⇒ i → ∞ ). Eles foram passa pelo foco e vai para infinito ( ( R / 2) i R espelho e passa pelo foco ( desenhados com cor verde na figura. 0,05 d) Existe diferença entre as imagens do objeto encontradas nos dois itens anteriores?…

CAPÍTULO I – ÁLGEBRA VETORIAL 1. Determine o vetor unitário ao longo da linha que une o ponto (2,4,4) ao ponto (-3,2,2). → → → 2. Se A = 5âx + 3â y + 2â z , B = −âx + 4â y + 6â z e C = 8â x + 2â y , determine os → → → valores de α e β, tais que α A+ β B + C seja paralelo ao eixo y. → → 3. Dados os vetores T = 2âx − 6â y + 3â z e S = âx + 2â y + â z , determine: → → a. A projeção escalar de T sobre S . → → b. O vetor projeção de S sobre T .…

parábola Conteúdo 2 – A elipse Conteúdo 3 – A hipérbole Conteúdo 4 – As coordenadas polares Elementos Complementares Atividades Complementares Construindo Conhecimento BLOCO TEMÁTICO 2 – GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO R3 TEMA 3 – VETORES, RETAS E PLANOS Conteúdo 1 – Vetores: Tratamento algébrico e operações básicas Conteúdo 2 – Produto escalar, vetorial e misto Conteúdo 3 – Estudo da reta e do plano no R3 Conteúdo 4 – Posições relativas, ângulos e distâncias Elementos Complementares…

multiplicação por escalar, R X V → V, tais que, para multiplicação por escalar, R X V → V, tais que, para quaisquer u, v, w ∈V e a, b ∈ R, as seguintes propriedades sejam satisfeitas: • Propriedades: i) (u + v) + w = u + (v + w) ii) u + v = v + u iii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u • 0 é o vetor nulo • 0 é o vetor nulo iv) Existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0 v) a(u + v) = au + av, a escalar vi) (a + b)v = av + bv, a, b escalares vii) (ab)v = a(bv) viii) 1.u = u • Designamos por vetor um…