espacos vetoriais e subespacos vetoriais

Professora: Lucimeire.
Lista de exerc´ıcios -´
Algebra Linear - Espa¸cos, subespa¸cos, combina¸c˜ao linear e espa¸co gerado
1. Se V = R
2
e W = {(x, x
2
); x ∈ R} n˜ao ´e subespa¸co de V.
2. Mostre que os seguintes subconjuntos de R
4
s˜ao subespa¸cos:
(a) W = {(x, y, z, t) ∈ R
4
|x + y = 0 e z − t = 0};
(b) W = {(x, y, z, t) ∈ R
4
|2x + y − t = 0 e z = 0};
3. Consideremos no espa¸co R
3
os vetores
−→
u = (1, 2, 1),
−→
v = (3, 1, −2) e
−→
w = (4, 1, 0).
(a) Calcular 2
−→
u +
−→
v − 3
−→
w ;
(b) Resolver a equa¸c˜ao 3
−→
u + 2x =
−→
v +
−→
w ;
(c) Resolver o sistema de equa¸c˜oes

−→ u + y =
−→
v + z
−→
v + 2z = y nas inc´ognitas y, z ∈ R
3
.
4. No espa¸co vetorial real P3(t) sejam dados os vetores f (t) = t
3
− 1, g(t) = t
2
+ t − 1 e h(t) = t + 2.
(a) Calcule 2f (t) + 3g(t) − 4h(t);
(b) Existe k ∈ R de maneira que f (t) + kg(t) = h(t)?
(c) Existem k
1
, k2 ∈ R tais que f (t) = k
1
g(t) + k
2
h(t)?
5. Seja V o conjunto de todas as fun¸c˜oes de um conjunto n˜ao-vazio X em R. Para quaisquer fun¸c˜oes f, g ∈ V e qualquer escalar α ∈ R, sejam f + g e αf fun¸c˜oes em V definidas como segue:
(f + g)(x) = f (x) + g(x) e (αf )(x) = αf (x).
Mostre que V ´e um espa¸co vetorial real.
6. Sejam V o espa¸co vetorial de todas as matrizes 2x2 sobre o corpo dos reais. Mostre que W n˜ao ´e um subespa¸co de
V , onde W consiste de todas as matrizes com determinante zero.
7. Seja V o espa¸co vetorial de todas as fun¸c˜oes de R em R. Mostre que W ´e um espa¸co vetorial de V , onde W consiste de todas as fun¸c˜oes ´ımpares, isto ´e, fun¸c˜oes para as quais f (−x) = −f (x).
8. Expresse
−→
v =

3 1
1 −1

como combina¸c˜ao linear das matrizes A =

1 1
1 0

, B =

0 0
1 1

, C =

0 2
0 −1

.
9. Determine uma condi¸c˜ao a que a, b, c devem satisfazer de modo que
−→
w = (a, b, c) seja uma combina¸c˜ao linear de
−→
u = (1, −3, 2) e
−→
v = (2, −1, 1).
10. Responda se os subconjuntos