Revisão de algebra linear

05/06/13

Matematica Essencial: Superior: Algebra Linear: Espacos e subespacos vetoriais

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Filho meu, ouve a instrução de teu pai, e não deixes o ensinamento de tua mãe, Bíblia Sagrada: Provérbios 1:8

Espaço Vetorial Propriedades em um espaço vetorial Exemplos de espaços vetoriais Subespaço Vetorial Exemplos de subespaços vetoriais Combinações lineares Conjunto gerado Propriedades associadas a conjuntos gerados

Espaço Vetorial

Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades: A1 Quaisquer que sejam u,v,w V (u+v)+w = u+(v+w) A2 Existe θ V tal que para todo v V: θ+v=v A3 Para cada v V, existe −v V tal que v+(−v)=θ A4 Quaisquer que sejam u,v V, segue que u+v=v+u M1 Para todo escalar k K e quaisquer v,w V: k.(v+w) = k.v + k.w M2 Para quaisquer k,m K e todo v V: (k+m).v = k.v + m.v M3 Para quaisquer k,m K e qualquer v V: (km).v = k(m.v) M4 Para qualquer v V tem-se que 1.v = v

Propriedades em um espaço vetorial

Se V é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:
1. Para todo k

K segue que k.θ = θ.

2. O vetor nulo θ é único.

3. Para todo v

V tem-se que 0.v = θ.

www.mat.uel.br/matessencial/superior/alinear/espvetor.htm

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4. Para cada v

V o vetor oposto −v

V é único.

5. Seja k

Kev

V. Se k.v=θ então k=0 ou v=θ. V, então u=w. V, existe um único u V segue que (−k).v = −(k.v) = k.(−v) V tal que v+u=w.

6. Se v+u=v+w para u,v,w

7. Quaisquer que sejam v,w

8. Para todo k

K e para todo v

9. Para todo k

K e para todo v

V segue que (−k)(−v) = kv

10. Se