algebra linear

Espaços vetoriais
Definição
Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:
1. Um corpo ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares. Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
2. Um conjunto dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +) de em Os elementos de V serão chamados de vetores.
3. Uma operação . de em
Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma (+) e produto (.) para representar, em cada caso, duas funções distintas: para elementos de não é o mesmo que para elementos de assim como para elementos de não é o mesmo que quando ∈ e ∈ Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar para as operações de e para as operações de em e de em Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com seis elementos)
Os seguintes axiomas (além de K ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:
1. para u, v e w elementos de V (associatividade)
2. Há um elemento ∈ tal que, para cada ∈ (existência de elemento neutro)
3. Para cada ∈ existe ∈ tal que (existência de elemento oposto)
4. Para cada ∈ (comutatividade)
5. Para cada ∈ e cada ∈
6. Se é a unidade de então, para cada ∈
7. Para cada ∈ e cada ∈
8. Para cada ∈ e cada ∈
Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por
O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto é um espaço vetorial, temos apenas que