Aula12 Subespa Os Vetoriais
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Aula 12 – Subespaços Vetoriais. Interseção e Soma de Subespaços Vetoriais.Definição 1: Seja um espaço vetorial real. Um subconjunto é um subespaço vetorial de se
i)
, ii) para todos
,
iii) para todo e para todo
.
Neste caso, o próprio , com as operações de adição e multiplicação por escalar de , restritas a , é um espaço vetorial. Exemplo 1: Se é um espaço vetorial real qualquer, então ele possui pelo menos dois subespaços vetoriais, que são os seus subconjuntos e , chamados subespaços triviais.
(
Exemplo 2: O eixosubespaço de ?
)
é um subespaço vetorial de
(
Exemplo 3: Mostre que
)
não é um subespaço de
(
)
Exemplo 4: Sejam e números reais não-nulos. Mostre que
(
) vetorial de . O conjunto é um subespaço de
Observação 1: Sempre que
,
. Interprete geometricamente.
é um subespaço
? Interprete geometricamente.
não será um subespaço vetorial de .
Exemplo 5: Mostre que conjunto das matrizes simétricas de ordem
( )
[
,
]
,
( ). E o conjunto das matrizes anti-simétricas de ordem
é um subespaço vetorial de
( ) é um subespaço de
. O eixo- também é um
[
,
,
]
( )?
Exemplo 6: Considere o sistema linear homogêneo
{
Mostre que o seu conjunto solução é um subespaço vetorial de
Proposição 1: Seja
.
( ). Então o conjunto solução do sistema linear
( )
é um subespaço vetorial de com o vetor
(
( )
)
. (Estamos identificando a matriz
).
(
)
( )
Teorema 1: Sejam um espaço vetorial real e também é um subespaço vetorial de .
e
subespaços vetoriais de . Então a intersecção
Teorema 2: Sejam
e
subespaços vetoriais de . Então a soma
um espaço vetorial real e
também é um subespaço vetorial de .
( ) dados por
Exemplo 7: Na notação do exemplo 5, determine os subespaços de
( )
(
)
Exemplo 8: Sejam subespaços de e determine
( )
Exercício 1: Seja um espaço vetorial real. Se subespaço de ?
Exercício 2:
(
e
.
e
é um subespaço vetorial de
e
( ) .
)
. Mostre que
e
são subespaços de , então a união
são
é um
? Por quê?
Exercício 3: Dê