Subespa O Vetorial

SUBESPAÇO VETORIAL
Participantes:
1.i
2.F
3.O
4.R

Disciplina: MATEMÁTICA ÁLGEBRA E VETORIAL
Turno: Noturno
Professora: N L
Curso: Manutenção Industrial

SUBESPAÇO VETORIAL
Introdução
Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos W que sejam eles próprios espaços vetoriais "menores". Tais conjuntos serão chamados subespaços de V. Isto acontece, por exemplo, em R2 , o plano, onde W é uma reta deste plano, que passa pela origem.
Por exemplo: vimos que o conjunto solução Sh de um sistema de equações lineares homogêneo com n incógnitas forma um espaço vetorial contido no espaço Rn.
Esta é uma situação típica da noção de subespaço de um espaço vetorial, que definiremos a seguir com maior generalidade. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de

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O resultado a seguir mostra que, para provarmos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço, basta mostrar que as operações de V estão definidas em W.
Proposição:
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Então, W é um subespaço de V se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas:
(i) Se u, v ϵ W, então u + v ϵ W;
(ii) Se ϵ R e u ϵ W, então u ϵ W.
Exemplo: Utilizando as propriedades de transposição de matrizes, mostra-se facilmente que o conjunto das matrizes (anti) simétricas quadradas de ordem m com coeficientes reais é um subespaço vetorial de M(m,m).

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Exemplo: Dados a1, . . . , an ϵ R, temos que o conjunto W = {(x1, . . . , xn) ϵ Rn : a1x1+... + anxn= 0} é um subespaço vetorial de Rn, munido das operações usuais. O resultado apresentado, no exemplo acima, implica que o conjunto solução de um sistema de equações lineares nas variáveis x1, . . . , xn é a interseção de subespaços de Rn. A proposição abaixo garante que tal conjunto solução também é um subespaço vetorial.
Proposição:
A interseção de dois